ارثماطیقی
فرهنگ دهخدا
[اَ رِ] (معرب، اِ)(1) (از یونانی اَریثمُس، بمعنی عدد) ارتماطیقی. علم حساب نظری. (کشاف اصطلاحات الفنون). دانش اعداد. فنّ محاسبه. و آن عبارتست از معرفت خواص اعداد و این مشتمل است بر چهار باب: باب اول در خواص اعداد از آن روی که کمّاند در انفس خود، از مشهورترین خواص عدد آنست که هر عدد نیمهء مجموع هر دو عدد حاشیهء متقابل خود باشد و آن دو حاشیه بود از دو طرف قلت و کثرت که بعد او از هر دو یکسان باشد در ترتیب طبیعی، همچو ده که نیمهء نه و یازده بود، همچنین نیمهء دوازده و چهارده، سیزده و نیمهء هشت و شش، هفت(2) و قس علی هذا. پس ضعف هر عددی مساوی حاشیتین او باشد و ثلثهء اضعاف او مثل و نصف حاشیتین اوست و هم بر این قیاس و همچنین نیمهء هر عددی ربع آن دو حاشیه بود و ثلث او سدس آن هر کسری از آن نصف آن کسر بود از آن هر دو و هر عددی مربع او مساوی مسطح حاشیتین او بود با مربع فصل میان آن عدد و احدی الحاشیتین همچون مربع ده اعنی صد که مساوی مسطح نه در یازده بود با مربع یکی و مساوی مسطح هشت در دوازده با مربع دو اعنی چهار مساوی مسطح هفت در سیزده با مربع سه اعنی نه و هر عددی را عده اعدادی که بر ترتیب طبیعی واقع باشد ازو تا ضعف اگر با هر دو اعنی با عدد و ضعف او اعتبار کنند مساوی آن عدد بود چون یکی بر او افزایند ابدا و اگر با یکی اعتبار کنند مساوی همان عدد بود اگر بی ایشان هر دو اعتبار کنند چنانکه جر اوساط معتبر نباشد مساوی همان عدد بود الا یکی ابدا همچو عدد اعداد از ده تا بیست و اگر با ده و بیست اعتبار کنند یازده بود و با یکی ازین دو ده و بی هیچیک از ایشان نه و هر عددی عدت اعداد واقع از او تا مثلثه امثال او اگر با طرفین اعتبار کنند مساوی ضرب عدد بود در دو و یازده یکی بر حاصل آید او با حدالطرفین مساوی ضرب عدد بود در دو بی طرفین مساوی ضرب عدد بود در دو و الا یکی ابدا چنانکه از ده تا سی که چون با طرفین گیرند مساوی بیست ویک بود و با یکی از طرفین بیست و بی هیچیک نوزده و همچنین عدت اعداد ازو تا اربعه امثال او مساوی ضرب دو بود در سه یا زیاده واحدی مع الطرفین و بی زیاده با طرفی والا واحد بی طرفین دائماً و از عدت امثال چون واحدی کم کنند و باقی در عدد ضرب کنند مبلغ عده اعداد بود با طرفی و بزیادهء واحدی با طرفین و بنقصان واحدی بی طرفین و همچنین از هر عددی تا مسطح او در ماقبل با طرفین مثل مربع در ماقبل بود و در مابعد با طرفی مثل مربع او مث از سه تا مسطح او در دو با هر دو طرف چهار است و از سه تا مسطح او در چهار با یک طرف نه و هر عددی عدهء اعداد واقع ازو تا مربع او با طرفی مساوی مضروب او بود در ماقبل او مثل سه که ازو تا مربع او که نه است مساوی مضروب سه درو بود و معهما و بدونهما برین قیاس باید کرد و هر عددی عده اعداد واقع ازو تا مکعب او با طرفی مساوی فصل مکعب بود برو چنانکه از دو تا هشت شش عدد و از سه تا بیست وهفت بیست وچهار از چهار تا شصت وچهار شصت و معهما و بدونهما بر قاعدهء سابق باشد و مال مال و سایر مراتب را بر این قیاس باید کرد و بوجهی دیگر از هر عددی تا مکعب او با طرفی مثل مضروب او در تالی او بود با مضروب مبلغ در ماقبل او چنانکه از دو تا هشت مثل مضروب دو در سه در یکی بود و از سه تا بیست وهفت مثل سه در چهار در دو از چهار تا شصت وچهار مثل چهار در پنج در سه و همچنین عده اعداد از هر عددی تا مال مال او با طرفی مساوی مضروب مربع او بود با تالی او در مضروب او در ماقبل چنانکه از دو تا شانزده مثل مضروب چهار در سه بود که آن هفت است در مضروب دو در یکی اعنی دو و حاصل چهارده بود و از سه تا هشتادویک مثل مضروب نه با چهار که آن سیزده است در مضروب سه در دو اعنی شش و حاصل هفتادوهشت بود و از چهار تا دویست وپنجاه و شش مثل مضروب شانزده با پنج که آن بیست ویکست در مضروب چهار در سه اعنی دوازده و حاصل دویست و پنجاه و دو باشد و حکم آن دو قسم دیگر که با طرفین و بدونهماست ظاهر است و اکنون با خواص اعداد متوالیه رجوع کنیم و گوئیم هر عددی چون مربع او را مضاعف کنند و دو بر او افزایند مبلغ مساوی هر دو مربع دو حاشیهء متقابل قریب او باشد چنانکه مربع هفت را که آن چهل ونه است اگر مضاعف کنند و دو افزایند آن مبلغ یعنی صد مساوی هر دو مربع شش و هشت بود و اگر مربع او را مضاعف کنند و هشت بر او افزایند مساوی مربع هر دو حاشیهء دوم او باشد چنانکه چهل ونه را چون مضاعف کنند و هشت بر او افزایند حاصل آن اعنی صدوشش مساوی مربعین پنج و نه باشد و اگر هیجده بر او افزایند مساوی مربع هر دو حاشیهء سیم او باشد و علی هذا و قانون درین باب آنست که زیادهء اول مضروب دو است در واحد زیادهء دویم مجموع آن با مضروب دو در فردی که تالی واحد است اعنی سه و زیادهء ثالث مجموع آن با مضروب دو در فردی که تالی آن اعنی پنج و بوجهی دیگر زیادهء اول مضروب آن زوج در ثانی مربعات اعنی چهار و زیادهء ثالث مضروب آن در ثالث مربعات اعنی نه و علی هذا القیاس و هر عددی چون مربع او را مضاعف کنند و چهار بر او افزایند مبلغ مساوی مسطح دو حاشیهء نازل قریب او بود با مسطح دو حاشیهء صاعد قریب او چنانکه مربع هفت را اعنی چهل ونه چون مضاعف کنند و چهار بر او افزایند مبلغ آن اعنی صدو دو ساوی مضروب پنج در شش بود با مضروب هشت در نه و اما مسطح حاشیهء نازل ثانی در ثالث با مسطح صاعد ثالث در رابع به بیست وچهار افزون باشد و نازل رابع در خامس با صاعد رابع در خامس بچهل و قانون در این باب آنست که در اول زیاده را که آن چهار است در اول افراد اعنی واحد ضرب کنند و آن چهار بود و در ثانی آن را با مضروب زیاده در ثانی واحد اعنی دو جمع کنند دوازده بود و در ثالث آن مجموع را اعنی دوازده با مضروب زیاده در تالی تالی اعنی سه جمع کنند بیست وچهار بود و هر عددی چون بر ضعف مربع او شش بیفزاید مبلغ مساوی مسطح حاشیهء اول او بود در نازل سیم با سطح حاشیهء صاعد اول در صاعد سیم چنانکه مربع هشت را اعنی شصت وچهار چون مضاعف کنند و شش بیفزایند مبلغ صدوسی وچهار نازل مساوی پنج در هفت یا نه در یازده بود و اگر حاشیهء اول در رابع زنند بر ضعف مربع هشت باید افزود و اگر در خامس ده و هم بر این قیاس و هر عددی که مربع او را مضاعف کنند و شانزده بیفزایند مبلغ مساوی مسطح حاشیهء ثانی نازل باشد در رابع نازل با مسطح ثانی صاعد در رابع صاعد چنانکه صد و چهل و چهار مساوی چهار در شش بود با ده در دوازده و اگر طرفین صاعد و نازل دوم را در پنجم ضرب کنند زیاده بیست بود چنانکه صد و چهل و هشت مساوی شش در سه بود با ده در سیزده و اگر دویم در ششم ضرب کنند زیاده بیست وچهار بود چنانکه صد و پنجاه و دو مساوی دو در شش بود با ده در چهارده دائماً زیادالضروب چهار در سمی حاشیهء بعیده باشد و اگر از طرفین سیم در پنجم ضرب کنند زیاده سی بود و اگر سیم در ششم ضرب کنند سی وشش بود و اگر در هفتم ضرب کنند چهل ودو بود چه دائماً مضروب شش باشد در سمی حاشیهء بعیده و علیهذا مادام که بعد بین الحاشیتین المقابلتین از طرفین یکسان بود زیادات مضروب ضعف سمی حاشیهء قریبه بود در سمی حاشیهء بعیده.
اکنون خواص اعداد متوالیه بر نظم طبیعی بیان کنیم و گوئیم هر جمله از اعداد متوالیه بر نظم عدهء آن جمله یا فرد باشد یا زوج. اگر فرد باشد هرآینه آن جمله را واسطه باشد و آن واسطه نیمهء حواشی متقابلهء خود بود و آن حواشی مبتدی باشد از دو طرف قریب او با دو نهایت آن جمله یکی بود تا هفت واسطهء چهار بود و او نیمهء مجموع سه و پنج و دو و شش و یک و هفت باشد و آن را اقرب حواشی سه و پنج بود و ابعد یک و هفت و اگر زوج بود لابد آن جمله را دو واسطه باشد که مجموع آن دو مساوی مجموع سایر حواشی متقابلهء آن دو عدد بود چنانکه از یکی تا هشت این جمله را دو واسطه است که آن چهار و پنج است و مجموع آن دو مساوی سی و شش و دو و هفت و یک و هشت باشد و از اینجا مقرر شد که مجموع دو حواشی متقابلهء هر عددی با هر دو عدد متوالی چون چهار و پنج یا غیرمتوالی چون چهار و شش متساوی باشند و از خواص اعداد متوالی از واحد آنست که اگر یکی بر عدد اخیر افزاید و در نیمهء عدهء اعداد ضرب کنند مثل مبلغ مجموع اعداد باشد چنانکه اگر یکی بر هشت افزایند و در نیمهء هشت ضرب کنند سی وشش که حاصل است مساوی جمیع اعداد هشت گانه باشد و اگر یکی بر نه افزایند و در نیمهء نه که چهارونیمست ضرب کنند و چهل وپنج که حاصل است مساوی اعداد نه گانه بود و از خواص متوالیه از واحد یا غیرواحد آنکه چون طرفین را در نیمهء عدهء اعداد ضرب کنند مبلغ مساوی مجموع آن اعداد بود چنانکه متوالیه از سه تا هفت سه را با هفت اعنی ده در دو نیم ضرب کنیم حاصل اعنی بیست وپنج مجموع این اعداد بود و از خواص جمیع این آنکه اعداد متتالیه که تفاضل آنها بواحد بود یا بنای معین از اعداد هرگاه که از عدد آن یکی اسقاط کنند و باقی را در عدد تفاضل ضرب کنند و اول اعداد خواه واحد بود و خواه عددی از اعداد بر آن افزایند مبلغ عدد اخیر بود از آنها و چون آن عدد را با اول جمع کنند و در عدهء اعداد ضرب کنند و مبلغ را تنصیف کنند یا در نصف آن عدد ضرب کنند حاصل مجموع آن اعداد بود مث ده عدد که اول آن سه بود و تفاضل پنج خواهیم که مجموع آن معلوم کنیم یکی را از ده نقصان کنیم و باقی را در پنج ضرب کنیم و حاصل را که چهل وپنجست به اول اعداد که سه است جمع کنیم چهل وهشت باشد و این آخر اعداد است پس سه بدان بیفزائیم و مبلغ را اعنی پنجاه ویک در نصف عدد اعنی پنج ضرب کنیم حاصل اعنی دویست و پنجاه پنج مساوی مجموع آن اعداد بود و آن اعداد اینست: 484338332823181383
و اگر پنجاه ویک را در ده ضرب کنند و مبلغ را اعنی پانصدوده را تنصیف کنند حاصل همان باشد و اگر اول این اعداد را واحد فرض کنند آخر چهل وشش بود و مجموع دویست و سی و پنج بود و حاصل آنکه هرگاه از واحد تا عدد مستوی و معکوس جمع کنند بر این وجه 23654321 و مبلغ بیست وپنج شود و حاصل آنکه مجموع اعداد با ماقبل عدد اخیر مثل مربع اخیر بود و هرگاه که اعداد متوالیه را از واحد جمع کنند مجموع اول نصف اخیر بود و مجموع سیم ضعف و نصف اخیر و مجموع چهارم ثلثهء امثال اخیر و پنجم ثلثهء امثال و نصف اخیر چنانکه 1 و 32 بود و 1 و 32 شش بود و 2 و 3 و 4 و 5 و علیهذا و چون خواهند که مجموع را معلوم کنند یکی بر آن مجموع افزایند تا عدد اخیر حاصل شود پس بر نیمهء آن عدد و نصف واحدی را افزایند و حاصل را در عدد اخیر ضرب کنند مطلوب آن بود مث مجموع دوازدهم خواستیم یکی بر او افزودیم سیزده شد این عدد اخیر است پس بر نیمهء سیزده اعنی شش ونیم نصفی بر او افزودیم هفت شد معلوم شد که مجموع دوازدهم سبعهء امثال اخیر است هفت را در سیزده ضرب کردیم نودویک حاصل شد که مطلوب بود و از خواص او آنکه مجموع اول مثل تالی آخر است و مجموع دویم مثل و نصف تالی آخر و سیم ضعف او و چهارم ضعف و نصف او و علیهذا مث 1 و 2 مثل سه باشد و یک و دو و سه مثل و نصف چهار و یک و 2 و 3 و چهار ضعف پنج.
و بعد از این در خواص زوج و فرد شروع کنیم و گوئیم ازواج و افراد متعالی با اعداد متوالی بر نظم طبیعی مشارکند در تفاضل بمقداری بعینه چه اعداد او طبیعی متفاضلند بواحد و ازواج و افراد متوالی متفاضلند باثنین چه هر زوجی را که واحدی برافزایند فرد شود و چون واحدی دیگر افزایند زوج شود و علیهذا پس لازم آید که هر واسط از افراد و ازواج متوالی نصف جملهء حواشی متقابلهء خود باشد چنانکه هفت نیمه و پنج و نه و نیمه و یازده و نیمه و یکی سیزده است و هشت نیمه شش و ده نیمه چهار و دوازده و نیمه دو و چهارده و همچنین هر دو فرد یا دو زوج متوالی نیمهء حواشی متقابلهء خود باشند چنانکه پنج و هفت نیمهء سه و نه و نیمه یکی و یازده بود و چهار و شش نیمهء دو و هشت و نیمه و چهار و شش باشد و این معنی مخصوص به ازواج و افراد نیست بلکه جمیع اعدادی که متوالی باشند بیک تفاضل شامل بود چنانکه بیست و پنج نیمهء بیست و سی پانزده و سی و پنج و ده و چهل و پنج و چهل و پنج بود چه این اعداد تفاضل پنج متوالی اند و از خواص افراد متتالیه آنست که مجموع آن از واحد ابداً مربع باشد چنانکه مجموع یک و سه و چهار بود و مجموع یک و سه و پنج و نه و مجموع یک و سه و پنج و هفت و شانزده و دیگر آنکه چون استعلام فردی کنند که در مرتبهء واقع باشد عدد آن مرتبه را مضاعف کنند و یکی نقصان کنند باقی مطلوب بود چنانکه اگر فرد دهم خواهند از ضعف ده یکی کم کنند نوزده بماند و آن فرد دهم بود. دیگر آنکه آحاد این افراد در ششم خود بازآید چنانکه در یازده و بیست و یک و سه در سیزده و بیست و سه و سی و سه و هم بر این قیاس. دیگر آنکه چهارم بعد از اول مربعات این افراد مربع بود همچو نه که چهارم واحد است و هشتم بعد از ثانی مربعات اعنی بیست و پنج که هشتم است بعد از نه و دوازدهم بعد از ثالث اعنی چهل و نه بعد از بیست و پنج و علیهذا عدد مرتبه مربع از افراد در چهار ضرب باید کرد بعد از آن مربع افراد متوالی بدان عدد شمردن تا بمربع مطلوب رسد. دیگر آنکه هر مجذوری فرد مساوی ضعف عدد مرتبه او بود با یکی ابداً اگر مبدأ سه باشد و الا یکی اگر مبدأ یکی باشد چنانکه بیست و پنج مساوی ضعف دوازده باشد با یکی اگر مبدأ سه باشد چه ح او دوازدهم باشد و مساوی ضعف سیزده الا یکی اگر مبدأ یکی باشد و دیگر آنکه افراد متتالیه را در جدولی مثلث بر این صورت مث ثبت کنند خواص دیگر بحسب این وضع ظاهر شود چه جملهء اعدادی که از واحد بر استقامت عمود مثلث فرود آید مربعات فرد متوالی بود و مجموع اعدادی که در صف عرضی باشد مکعب بود و از صفوف عرضی علی الولا مکعبات متوالی برخیزد و اگر این افراد در جدول مربع فرض کنند بر این صورت مث هر صلیبی که از دو سطر متقاطع آن سطور قطری مؤلف شود خواه قطر شکل باشد و خواه نه بشرط تساوی سطرین مجموع هر دو سطر متساوی باشد چه مجموع هر قطری از این شکل شصت وچهار بود و مجموع هر سطری از 1 و 11 و 21 و 15 و 11 و 17 سی وسه بود و مجموع هر یکی از سه و 13 و 23 و 7 و 13 و 19 سی ونه و مجموع هر یکی از 11 و 21 و 13 و 19 سی ودو مجموع طرفین سطر هر صلیبی مساوی مجموع طرفین سطری دیگر بود چنانکه مجموع 1 و 3 و 1 و 7 و 25 سی ودو و مجموع 9 و 29 و 13 و 25 سی وهشت و مجموع اعداد هر مربعی که مشتمل بر این افراد بود مساوی مال مال ضلع مربع بود چه اگر مربع دو بر این صورت ثبت کنند مجموع اعدادش شانزده بود و اگر مربع سه ثبت کنند بر این صورت مجموع اعداد آن هشتادویک بود و مربع چهار و دویست و پنجاه شش و نیز مجموع قطر هر مربعی مکعب ضلع آن مربع بود چنانکه قطر مربع دو هشت باشد و قطر مربع سه بیست و هفت و قطر مربع چهار شصت و چهار.
و از خواص ازواج متوالیه آنست که هر مجموع از آن مساوی مربع عدهء آن اعداد بود با جذر آن مربع چنانکه مجموع اول شش بود مساوی مربع دو با دو و مجموع ثانی اعنی 2 و چهار و 6 دوازده بود مساوی مربع سه با سه و مجموع ثالث اعنی 2 و 4 و 6 و 8 بیست بود مساوی مربع چهار با چهار و از خواص عدد زوج آنکه اگر واحدی از آن نقصان کنند و باقی عدد فرد اول بود آن زوج مساوی اجزای مربع آن اول بود چنانکه چهار مجموع اجزای مربع سه بود و اگر سه از آن نقصان کنند و باقی اول بود آن زوج مجموع اجزای ضعف آن اول بود چنانکه شش اجزای ضعف سه بود و هشت اجزای ضعف دو ده اجزای ضعف هفت.
و بعد از این ذکر خواص انواع زوج و فرد یاد کنیم و انواع زوج را مقدم داریم. بدانکه هر عددی زوج الزوج را جملهء اعداد زوج الزوج که پیش از او بود عد کند و مربع زوج الزوج، زوج الزوج بود و همچنین مکعب و سایر منازل او بل مضروب زوج الزوج در زوج الزوج ابداً زوج الزوج بود و از عدد زوج الزوج چون زوج اول بیندازند باقی زوج الفرد بود چنانکه از هشت اگر دو بیندازند باقی زوج الفرد بود و همچو شانزده که از او چون دو بیندازند باقی زوج الفرد همچو سی ودو چون دو بیندازند و زوج الزوج ناقص بود بواحدی ابداً و از خواص این عدد آنکه استخراج اعداد تامهء متحابه و زایده و ناقصه باین اعداد میسر گردد. اما طریق استخراج تامه آنست که از هر زوج الزوجی که باشد یکی بیندازند اگر باقی عدد اول باشد آنرا در زوج الزوج مقدم ضرب کنند حاصل تام بود چنانکه از چهار یکی بیندازند و باقی را در دو ضرب کنند شش حاصل آید و آن تام است و از هشت یکی بیندازند و هفت را در چهار ضرب کنند بیست وهشت حاصل آید و آن تام است چه اجزای او منحصر بود در 147421 و از سی ودو یکی بیندازند و سی دیگر را در شانزده ضرب کنند 496 حاصل آید و آن تام است چه اجزا منحصر بود:
2481246231168421 و اما اعداد متحابه هر دو عدد بود که هر یکی مساوی مجموع اجزای آن دیگر باشد چنانکه 220 و 284 چه اجزای اول منحصر است در:
110554422211105421 چه صدوده نصف اوست و 55 ربع او و 44 خمس او و 22 عشر و 20 جزوی از 11 و11 جزوی از 20 و 10 جزوی از 22 ده جزوی از 44 و 4 جزوی از 55 و 2 جزوی از صدوده و 1 جزوی از دویست وبیست و مجموع این اجزاء مساوی ثانیست و اجزای ثانی منحصر است در 104271421 چه صدوچهل ودو نصف اوست و هفتادویک ربع او و چهار جزوی از هفتادویک و دو جزوی از صد و چهل و دو و یک جزوی از دویست و هشتاد و چهار و این اجزا مساوی اول است و این دو عدد غیر این اجزا ندارند چه مراد از جزو آنست که عد ایشان کند و غیر این اجزاء عد ایشان نمیکند و طریق استخراج متحابین آنکه از عدد زوج الزوج یکی کم کنیم و زوج الزوج ماقبل هم بر آن باقی افزائیم و زوج الزوج ماقبل هم از آن باقی نقصان کنیم اگر سه عدد که ازین سه عمل حاصل شود همه اول باشند مضروب حاصل ثانی را در حاصل ثالث در زوج الزوج ماقبل ضرب کنیم تا اصغر متحابین حاصل آید بعد از آن مضروب ثانی در ثالث را با ثانی و ثالث بشرط آنکه همه اول باشند و زوج الزوج ماقبل ضرب کنیم تا اعظم المتحابین حاصل آید مث از هشت یکی کم کردیم و چهار بر باقی افزودیم و دو هم از باقی کم کردیم 5117 حاصل آید هر سه اول پس مضروب یازده در پنج اعنی پنجاه وپنج را در زوج الزوج ماقبل هشت اعنی چهار ضرب کردیم دویست وبیست حاصل شد پس یازده و پنج بر پنجاه وپنج افزودیم هفتادویک شد و چون او نیز اول بود در چهار ضرب کردیم دویست و هشتاد و چهار حاصل شد.
و طریق استخراج اعدد زایده و ناقصه آنست که از عدد زوج الزوج یکی کم کنیم پس اگر زاید خواهیم اولی که کمتر از باقی بود جز دو در زوج الزوج ماقبل ضرب کنیم و اگر ناقص خواهیم اولی که بیشتر بود حاصل مطلوب بود مث از هشت یکی کم کردیم هفت ماند اکنون اگر چهار را در سه یا پنج زنیم حاصل زاید بود چه در اول حاصل دوازده بود و اجزای او اعنی 64321 و در ثانی حاصل بیست بود و اجزای او اعنی 105421 بیست ودو و چندانکه نقصان اول مضروب فیه از باقی بیشتر بود زیاده پیش بود و قدر زیاده دائماً مثل فضل باقی بود بر مضروب فیه و اگر چهار را در یازده یا سیزده زنیم حاصل ناقص بود چه در اول 44 بود و اجزای او منحصر است در 221421 و مجموع آن چهل و در ثانی 502 و اجزای او اعنی 2613421 و مجموع آن چهل وشش باشد و چندانکه زیادهء مضروب فیه بر باقی پیش بود نقصان زیاده باشد و قدر نقصان دائما مثل زیاده مضروب فیه بر باقی. و بوجهی دیگر هرگاه که زوج الزوج را در عدد اول ضرب کنند بباید دید اگر آن زوج الزوج بر نصف آن فرد بنصف واحد زیاده بود چنانکه زیادتی دو بر نصف سه حاصل اعنی دو از 6 تام باشد و اگر زیاده از نصف زاید بود چنانکه زیادتی 4 بر نصف سه حاصل اعنی 12 زاید باشد والا ناقص.
نوع دوم زوج الفرد بود و از خواص او آنست که او را هیچ زوج عد نکند الا بعددی فرد و هیچ فرد عد نکند الا بعددی زوج و جزء زوجش سمی فرد باشد چنانکه دو از شش ثلث باشد و جزء فردش سمی زوج بود چنانکه سه از او نصف باشد و تولد او از ضرب افراد متوالیه بود در دو پس تفاضل میان متوالیات او بچهار باشد و از خواص او آنکه چون دو جزء جملهء این اعداد بود پس اگر از هر عددی زوج الفرد بعدهء سمی آن جزء بعد از آن عدد بشماری بعددی منتهی شود که این جزء ازو درست آید مث دو از شش ثلث بود سمی سه پس اگر از شش سه بشماری منتهی شود بهجده و او را ثلث صحیح بود و از ده خمس بود پس اگر بعد از او پنج بشماری منتهی شود بسی که او را خمس صحیح بود و از چهارده سبع بود و بعد از چهارده بهفت مرتبه چهل و دو بود و او را سبع صحیح باشد و دیگر آنکه دو را با سمی مرتبهء عددی مربع جمع کنند مبلغ مربع بود چنانکه دو با چهارم اعنی چهارده شانزده بود و با نهم اعنی سی وچهار و سی وشش و با شانزدهم اعنی 62 شصت و چهار و اگر واحد را مبدأ نظام این اعداد سازیم و شش را که ثالث این اعداد بود با مراتبی که سمی مربعات بود جمع کنیم اعداد مربع حاصل آید چنانکه با چهارم اعنی ده شانزده بود و با نهم اعنی سی وشش و با شانزدهم اعنی پنجاه وهشت شصت وچهار. دیگر آنکه باز مضروب سمی هر مرتبه در تفاضل مراتب چون عدد اول نقصان کنند عدد آن مرتبه حاصل آید مث در مرتبهء رابع چهار در چهار ضرب کنند و دو بیندازند چهارده بماند و آن مرتبه چهارم بود و عکس این معنی هم درست است چه هرگاه که دو مرتبه ازین مراتب افزائیم و ربع این مبلغ بستانیم یعنی بر چهار قسمت کنیم اسم آن مرتبه حاصل مشتق بود چنانکه دو بر بیست ودو افزائیم بیست وچهار شود و رُبعش بستانیم شش بود گوئیم آن مرتبهء ششم است. دیگر آنکه مضروب ضعف عدد مراتب مساوی اعداد مجموع مراتب بود چنانکه اگر مراتب پنج بود اعنی 1814162 ده در پنج مجموع آن اعداد بود و اگر این اعداد را در مربع شش ثبت کنند از خواص این جدول آن بود که آحاد هر سطری عرضی مثل آحاد آخر همان سطر بود و همچنین اعدادی که در سطور قطری افتاده باشد مبتدی از یسار و اعلی جدول در آحاد و صفر مشترک باشند و دیگر آنکه دو طرف قطر هر صلیبی مساوی مجموع دو طرف قطر دیگر بود چنانکه 2 و 142 و 22 و 122 و 24 و 138 مثل 42 و 122 و نیز مجموع طرفین اقطار هر صلیبی که در مربعات متداخله افتد متساوی باشند چنانکه 22 و 42 و 18 و 46 و همچنین هشت پنج و 86 و 62 و 82 و علیهذا. و دیگر تفاضل میان هر عدی و آنچه بر بالای آن موضوع بود یکسان بود چنانکه تفاضل 26 و 2 و 84 و 50.
نوع سیم زوج الزوج والفرد بود و از آن جهت که او قابل تنصیف تا بواحد نه بود مشابه زوج الفرد باشد و از آن جهت که بیش از یکبار قابل تنصیف بود مشابه زوج الزوج باشد و تولد او از ضرب اعداد زوج الزوج بود غیر دو و در افراد متوالی چنانکه از چهار در سه دوازده و از چهار در پنج بیست و علیهذا چندانکه زوج مضروب اعظم بود قبول تنصیف در حاصل زیاده باشد و این اعداد متوالی باشند بتفاضل هشت و در این اعداد زاید و ناقص و تام توان یافت. اما تام همچو هشت و دو بر تامی که بعد ازو بود. اما ناقص مثل 44 که بیان آن ذکر رفت و اما زاید همچو 12 و 20 و غیر آن و درین اعداد مربعات نیز باشند و تولد آن مربعات از ضروب اول ازواج بود در اول افراد یعنی دو در سه و تربیع حاصل اعنی شش و ثانی از ضرب همان زوج الزوج در ثانی افراد بود و تربیع حاصل اعنی ده و علیهذا القیاس و تفاضل این اعداد ابداً زوج الزوج بود چه اگر ضرب چهار در افراد متوالیه متولد گردد تفاضل سی ودو بود. اینست آنچه در ذکر خواص ازواج مهم بود.
اکنون بیان کنیم که دو که اول اعداد است از کدام نوع است. شیخ در شفا آورده است که: بعضی گمان بردند که دو زوج الفرد است از آن جهت که در تنصیف منتهی بزوج نیست و بعضی گفته اند زوج الزوجست چه در تنصیف منتهی بواحد است و بعضی گفته اند زوج الزوج والفرد است معاً و مبدأ هر دو و بعد از آن گفته که نزد من آنست که زوج الزوج بحقیقت عددی بود که نصف او زوج باشد و نصف هر نصفی ازو که غیر واحد است زوج و زوج الفرد آنکه نصف او فرد باشد و فرد عدد باشد و واحد نیز بود از آن جهت که غیرمنقسم است بمتساویین و زوج جز عدد نباشد و حق آنست که در تسمیه مناقشه نکند. و بعضی از متأخران گفته اند که زوج اگر در تنصیف بواحد منتهی شود زوج الزوج بود و الا اگر قبول تنصیف بیش از یکبار کند زوج الزوج والفرد بود و اگر نه زوج الفرد و این طریقه بصواب نزدیکتر است چه دو را از زوج الزوج شمردن تا باز بسلسلهء اعداد زوج الزوج از واحد منتظم شود و احکام متناسب شامل گردد اولی بود از آنکه او را زوج الفرد گیرند چه واحد را فرد گرفتن بحقیقت مجاز است چه فرد از اقسام عدد است چنانکه مشهور و متداولست و کثرت مجتمعه الواحده شامل آن واحد نیست مگر بعدد آن خواهند که در مراتب عدد افتد.
بعد از این در خواص انواع فرد شروع کنیم و گوئیم در اصول معلوم شده که فرد یا اولست یا مرکب از دو اول یا در نفس خود بود یا بقیاس با عددی دیگر و از خواص افراد مرکبه آنست که ثالث فرد اول اعنی سه مرکب باشد و آن نه است و همچنین ثالث نه پانزده و ثالث ثالث او بیست یک و همچنین الی غیرالنهایه و نیز خامس فرد اول ثانی اعنی پنج و خامس خامس او الی غیرالنهایه مثل پانزده و بیست وپنج و نیز سابع هفت و سابع سابع او الی غیرالنهایه مثل بیست ویک و سی وپنج و چهل ونه و نیز یازدهم الی غیرالنهایه مثل سی وسه و پنجاه وپنج و هفتادوهفت و علیهذا این جمله مرکبست و دیگر آنکه سه مرکباتی را که ازو منتظم است عد کند اما اول را که نه است بنفس خود که فرد اولست و ثانی را پانزده است بفردی که ثانی اوست اعنی پنج و ثالث را که بیست ویکست بهفت و علیهذا. و همچنین پنج اول از مرکبات او را که ثانی نه است اعنی پانزده بفرد اول عد کند و ثانی را که بیست پنج است بنفس خود که ثانی است و ثالث را بثالث که هفت است و هم بر این قیاس سایر افراد مرکبات را عد کند.
باب دویم در خواص اعداد از جهت اضافت که آنرا نسبت خوانند و مضاف را منسوب و مضاف الیه را منسوب الیه. پس اگر منسوب مساوی منسوب الیه بود آن نسبت را نسبت مساوات خوانند و اگر اعظم بود نسبت زاید والا ناقص و زاید یا بسیط بود یا مرکب. بسیط آن بود که معدود منسوب الیه باشد چنانکه شش با دو. و مرکب غیر آن چنانکه شش با چهار و بسیط ضعف بود و اگر بعدت دو معدود باشد همچو شش با سه نه و امثال آن اگر عدد بیش از دو بود چنانکه شش با دو و هر صنفی از امثال بعدت عدد مقید باشد چنانکه ثلثه امثال و اربعه امثال و جماعتی از امثال را که عدهء او زوج الزوج بود اضعاف گویند مفید بعدهء مذکور چنانکه هشت را با دو اربعه اضعاف و شانزده را ثمانیه اضعاف و سی ودو را سته عشر ضعفا و این اصطلاح صناعت موسیقی بود و مرکب آن باشد که نسبت مساوات که آن را مثل گویند یا نسبت امثال یا نسبت جزء با اجزاء ترکیب یافته باشد و مراد از اجزاء آنست که بیش از جزء واحد باشند خواه دو جزء باشد خواه بیشتر همچو مثل و نصف در دو و سه و مثل و ثلثان در سه و پنج و ضعف و نصف در دو و پنج و ثلثه امثال و ثلثه ارباع در چهار و پانزده و نسبت بسیطه سه نوع است نسبت مثل و نسبت ضعف و نسبت امثال و در اصطلاح مذکور چهار، چه اضعاف نیز قسمی بود و انواع نسبت مرکبه شش است و باصطلاح مذکور هشت چه هر یکی را از نسبت بسیط با جزء و با اجزاء اعتبار باید کرد چنانکه مثل و جزء و مثل و اجزاء. و ضعف و جزء و ضعف و اجزاء و امثال و جزء و امثال و اجزاء اضعاف و جزء و اضعاف و اجزاء. و اما نسبت ناقص منحصر بود در دو جزو و اجزاء و عادت چنانست که تعبیر از آن بر این وجه کنند که آنچه تحت فلانست مث از جزء بدانچه تحت زاید و جزو است و از اجزاء بدانچه تحت زاید و اجزاست و باشد که جزء را اسمی از امثال اشتقاق کنند بر تقدیر عکس مث اسم یکی از پنج را از اسم پنج اشتقاق کنند و گویند خمس و در اسم یکی از یازده گویند جزوی از یازده شود جزء از جزء واحد و باشد که اسم آن را مضاف ترکیب کنند چنانکه نصف سدس در یکی از دوازده و نسبت مثل متنوع نشود ولیکن سایر بسایط زاید متنوع شود چه اولش ضعف بود چنانکه 1 و 2 و دویم ثلثه امثال همچو 1 و 3 و سیم اربعه امثال همچو 1 و 4 و چهارم خمسه امثال همچو 1 و 5 و علیهذا. و اعداد هر یکی ازین سبب نامتناهی تواند بود چنانکه ضعف در طرف اعظم و اصغر متزاید گیرند باعداد بر این نسق الی غیرالنهایه متولد گردد 1 و 2 و 2 و 4 و 3 و 6 و 4 و 8 و هم برین قیاس در سایر نسبت و هر یکی از نسبت مرکبه هم متنوع شود مث مثل و جزء را انواع بی نهایت بود بحسب جزء چه اول آن مثل و نصف بود چنانکه 2 و 3 و افراد او بتزاید امثال طرفین متزاید گردد بر این منوال 64 و 96 و 128 و نسبت مثل و ثلث چنانکه 3 و 4 و دیگر مثل و ربع چنانکه 4 و 5 و همچنین بحسب نسبت واحد در ازای اعداد طبیعی متنوع گردد و جدولی رسم کنیم مربع ده و اعداد طبیعی از واحد در دو سطر اول طولی و عرضی ثبت کنیم و در سایر خانه های مضروب دو عدد که مقابل آن خانه باشد بر این صورت تا احکام نسبت از آنجا نیکو روشن شود چه اعداد سطر دویم از این سطر طولا و عرضاً ضعف اعداد سطر اول باشد و سیم ثلثه امثال و چهارم اربعه امثال و علیهذا تفاضل زوج مذکور چه ابداً طرف اعظم و اصغر هر یک بقدر اول متفاضل باشد و سطر سیم مثل و نصف سطر دویم و تفاضل همچنان و چهارم مثل و ثلث و سیم و پنجم مثل و ربع چهارم و زیادت هر سطری بر متقدم بیک مرتبه بواحد بود در خانهء اول و بدو در خانهء دویم و بسه در خانهء سیم و بر متقدم بدو مرتبه بدو در خانهء اول و به چهار در خانهء ثانی و شش در خانهء سیم بر ترتیب ازواج متوالی و بر متقدم بسه مرتبه بسه در خانهء اول و بشش در ثانی و به نه در ثالث و علیهذا. و از خواص این جدول آنکه جملهء اعداد قطر چون ابتدا از یمین و اعلی جدول کنند مربع حاشیه بود و همچنین هر دو مربع متوالی چون چهار و نه متممین که از هر دو طرف افتاده باشد چون شش به واحدی زیاده باشد و چون دائماً مجموع این دو مربع یا متممین هشت و پنج است در این مثل مربع است پس ضعف مجموع مربعین الا واحد همان مربع بود و ضعف مجموع متممین با واحد همچنین و نیز مضروب هر مرتبه از سطری در مرتبهء دیگر در سطری دیگر مثل حاصل همان مرتبه بود از مضروف فیه در همان مرتبه از مضروب مث ثانی اول در خامس رابع اعنی 2 در 20 مثل ثانی رابع در خامس اعنی 8 در 5 بود و نیز مضروب هر عددی از سطرین قطری در عددی دیگر از همان سطر مثل مضروب طرفین قطر دیگر بود متقاطع قطر اول بوجهی که هر دو صلیب مربعی شوند چنانکه یکی در صد مثل ده در ده بود و شش در بیست مثل ده در دوازده و علیهذا القیاس و این چند خاصیت از خواص جدول بر سبیل استطراد گفته شد.
اکنون گوئیم بعد از نسبت مثل و جزء نسبت مثل و اجزاء بود و مثل و اجزاء یا ملخص بود یا غیرملخص. ملخص آن بود که بجزء یا باجزاء مختصرتر از آن اجزاء از او تعبیر نتوان کرد چنانکه مثل و ثلثان 3 و 5 و غیرملخص آنکه بجزء یا به اجزاء اخصر اخصر از آن اجزاء از او تعبیر توان کرد همچو مثل در ربعین 4 در 4 که از آن تعبیر بمثل و نصف توان کرد و همچو مثل و اربعه اعشار ده و چهارده که تعبیر از آن بمثل و خمسان توان کرد پس اگر تلخیص را شرط بگیرند این نسبت مبتدی باشد از مثل و ثلثان سه و پنج بعد از آن مثل و ثلثه ارباع چهار و هشت و دیگر مثل و اربعه اخماس پنج و نه همچنین بتزاید طرفین اما اصغر به آحاد و اما اعظم به اثنیات و چون در یکی از این انواع اصغر و اعظم متعین باشد نسبت جملهء اعدادی که در ترتیب واقع باشند میان اعظم طرفین اما اصغر آنچه زاید باشد بر اصغر بواحدی یا اصغر انواع دیگر بود مشارک نوع اول در مخرج مث در نوع و اربعه اخماس پنج و نه و نسبت پنج و هفت که پنج و هشت واقعند میان شش و نه و تعبیر از ایشان بمثل و خمسان و مثل و ثلثه اخماس کنند دو نوع دیگر باشند مشارک به انواع اول در مخرج اعنی پنج. اما بسیار باشد که نسبت اعداد مذکور به اصغر غیرملخص بود چنانکه نسبت شش با هشت که مثل یا دو سدس و ثلث آنست و غیرملخص چه تعبیر از آن بمثل و سدس میتوان کرد و همچنین شش و نه مثل و ثلثه اسداس غیرملخص است چه تعبیر از آن بمثل و نصف میتوان کرد.
باب سوم در خواص اعداد از جهت تشکل به اشکال چون تألف اعداد و تولد آن از آحاد است پس اگر واحد را در کتابت به صورت مشابه صور مقادیر تصور کنند اعداد را خطی و سطحی و جسمی خوانند. و اما اعداد خطی آن بود که در صورت کتابی بر یک صف مستوی رسم کنند بر این صورت ه ه ه ه ه و جملهء اعداد خطی تواند بود. و اما سطحی اعدادی تواند بود که از تألف آحاد آن به صورت کتابی صورت مشابه سطحی حادث گردد و اول مسطحات اعداد مثلث است و آن اعدادی بود که آحاد آنرا به صورت مثلثی متساوی الاضلاع ثبت توان کرد و اول آن سه بود بر این صورت:
ه
ه ه
و ثانی شش چه اضافهء ثلثه و خطی به صورت سابق متولد گردد بر این صورت:
ه
ه ه
ه ه ه
و چون عدد خطی که تالی عدد سابق بود بر این شکل اضافه کند مثلثی که تالی آن بود حادث شود بر این صورت:
ه
ه ه
ه ه ه
ه ه ه ه
و از این استقرار معلوم شود که مثلثات از جمیع اعداد متوالیه از واحد متولد گردد و اول آن سه بود پس شش پس ده و ضلع مثلث اول دو بود و ضلع مثلث دویم سه و علی هذا. پس هر مثلثی بر مثلث سابق بعدد ضلع خود زیاده بود و ضلع هر مثلثی بر رتبت او بواحدی زیاده و چون رتبه معلوم شد و خواهند که ضلع او معلوم کنند یکی بر عدد رتبه افزایند مث ضلع مثلث دهم یازده بود و علیهذا. و اگر واحد را از مثلثات گیرند عدد اضلاع مساوی رتبت بود لیکن اگرچه واحد بالقوه مربع و مکعب بود اما مثلث و مربع به اعتبار شکل بود نه بالقوه و نه بالفعل و هر مثلثی از ضرب ضلع او با زیاده واحد در نصف عدد رتبه از واحد حاصل گردد مث مثلث خامس از ضرب شش در نیمهء پنج بود و حاصل پانزده و مثلث سابع از ضرب هشت در نیمهء هفت بود و حاصل بیست وهشت و بعد از اعداد مثلث اعداد مربع بود و صورت آن از اعداد خطی مساوی مرتسم شود که عدهء آن خطوط مساوی عدهء آحاد هر خطی بود و آحاد اضلاع آن بر ترتیب اعداد طبیعی و اولش دو باشد و مربع آن بر این صورت:
هشهش
و ثانی سه مربعش چنین:
هشهشهش
و ثالث چهار و مربعش چنین:
ه ه ه ه
ه ه ه ه
ه ه ه ه
ه ه ه ه
و ابداً اعداد آحاد این مربعات مساوی مربع ضلع بود چنانکه در مربع دو آحاد چهار بود و در سه آحاد نه و در چهار شانزده و علیهذا و چنانکه مثلثات متوالی از جمیع اعداد طبیعی ولا متولد شد مربعات متوالی از جمیع افراد طبیعی با واحد متولد شود چنانکه یکی با سه چهار بود و آن مربع اولست و یکی با سه با پنج نه و آن مربع ثانیست و علیهذا. فی الجمله چون اعداد طبیعی را از واحد به ترتیب مستوی و معکوس جمع کنند حاصل مثل مربع نهایت بود چنانکه 121 مربع 2 و اول مربعاتست و این طریقه را در انشاء مربعات مرقص کنند و حاصل او آنکه مجموع هر اعداد متوالی که با مجموع آنکه کمتر از آن اعداد باشد بمرتبهء اخیر مربع بود و هرگاه که جذر مربعی در جذر مربع دیگر ضرب کنند و ضعف آن با هر دو مربع جمع کنند مبلغ مربع بود چنانکه اگر سه را در پنج ضرب کنند و ضعف آن اعنی سی با نه و بیست وپنج جمع ضرب کنند مبلغ اعنی شصت وچهار مربع بود و جذر او مساوی مجموع آن دو جذر باشد و بعد از اعداد مربع اعداد مخمس بود و اول او پنج باشد. بر این صورت:
ه
ه ه
ه ه
و ضلع آن دو بود و صورت مخمسات از صورت مربعات اضلاع مخمس مرتسم شود و اول بعد از آنکه یک ضلع را از اضلاع چهارگانه قاعده مثلثی سازند و آن صورت مربع به این مثلث تمام کنند مث صورت مخمس ثانی چنین باشد:
ه
ه ه
ه ه ه
ه ه ه
ه ه ه
و عدد آن دوازده و صورت مخمس ثالث چنین:
ه ه ه
ه ه ه ه
ه ه ه ه
ه ه ه ه
ه ه ه ه
ه ه ه
و عدد آن بیست ودو. پوشیده نماند که آن مخمسات متساوی الاضلاع نبود بلکه آن دو ضلع که بسبب مثلث حادث شود کوتاه تر بود و مخمسات از جمیع اعداد متوالی بتفاضل سه سه متولد گردد و ترتیب آن اعداد چنین بود 19161310741 و مخمسات برولا چنین 753522125 و چنانکه هر مربعی از مثلثی در رتبهء او با مثلث ماقبل متولد گردد هر مخمسی از مربعی در رتبهء او با مثلثی که رتبه اش بواحدی کمتر بود چنانکه مخمس دویم 12 از مربع دویم و مثلث اول 3 و مخمس سیم 22 از مربع 16 و مثلث دویم 6 8پس هر مخمسی از سه مثلث مجتمع گردد یکی در رتبهء او و دو بواحدی فروتر پس هر مخمسی مثل مثلثی بود مساوی او در رتبه و ضعف و ماقبل و چون خواهند که عدد مخمس معلوم کنند اگر در رتبه از واحد گرفته باشند از عدد رتبه یکی کم کنند و در سه اعنی تفاضل اعدادی که مخمسات از جمع حاصل میشود ضرب کنند و دو بر آن افزایند و در نصف عدد رتبه ضرب کنند حاصل عدد مخمس بود مث مخمس رابع را از چهار یکی بیندازند و سه در سه ضرب کنند و دو بر او افزایند یازده شود در نصف عدد رتبه اعنی دو ضرب کنند حاصل 22 مخمس رابع بود.
و بعد از مخمسات مسدّسات باشد و اول آن شش بود و صورت او از مربع آحاد ضلع بعد از آنکه از دو جهت متقابل بدو مثلث تمام کنند بر مثال مخمسی که بمثلثی تمام کرده اند مرتسم شود بر این صورت:
و مسدسات از جمیع اعداد متفاضل بچهار چهار حادث شود همچون 211713951 پس مسدس ثانی پانزده بود و ضلعش سه بر این صورت: و مسدس ثالث 28 و ضعلش چهار و رابع 45 و ضلعش پنج و خامس 66 و علیهذا القیاس و چون مخمس را با مثلثی که در رتبه بعد از مخمس باشد جمع کنند مسدس در رتبه مخمس حاصل آید چنانکه اگر مخمس چهارم را 35 با مثلث سیم 1 جمع کنند مسدس چهارم 45 حاصل آید و چون هر مخمس مثل مربع آن رتبه بود با مثلث ماقبل پس هر مسدس مثل مثلث آن رتبه بود با ثلث امثال مثلث ماقبل و همچنین هر مسبعی مثل مثلث آن رتبه بود با اربعهء امثال مثلث ماقبل و هر مثمن مثل مثلث آن رتبه و خمسه امثال مثلث ماقبل. و ازینجا گفته اند که تولد جملهء اشکال عددی از مثلثاتست و چون خواهند که از مثلثات تولید شکلی کنند سه از سمی آن شکل بیندازند و مثلثی که در رتبه آن شکل بود با مضروب مثلث قبل در باقی جمع کنند حاصل شکل مطلوب بود. مث مسدس هفتم را سه از شش بیندازیم سه باقی ماند و مثلث هفتم را 28 با مضروب مثلث ششم 21 در سه اعنی 63 جمع کنند حاصل 91 مسدس هفتم بود. و بعد از مسدسات مسبعات بود و از جمیع اعداد متفاضل به پنج پنج حاصل آید و مثمنات از جمیع اعداد متفاضل بشش شش و متسع از جمیع اعداد متفاضل بشش شش و متسع از جمیع اعداد متفاضل بهفت هفت و علیهذا القیاس. و بباید دانست که چون از مسدس بگذرند تصویر آحاد بصور اشکال متعذر باشند اما اسامی مطرد باشند بنابر آنکه تولد آن اعداد از اجتماع اعداد متوالی از واحد بر یک نظام است مثلثات از جمیع اعداد بتفاضل یک یک چون 1 و 2 و 3 و مربعات بتفاضل دو دو چون 1 و 3 و 5 و علیهذا.
و اعداد مجسمه اعدادی بود منقسم باعداد سطحی چنانکه از نضد آن سطوح بر بالای یکدیگر یا از اضافت آن سطوح بواحد صورتی مشابه مجسم متصور شود و اول آن اعداد مخروطی بود و آن هر عددی بود که از قاعدهء سطحی ابتدا کند و بسطوح متوالیهء متشابه آن مرتفع میشود تا بواحد. اگر قاعدهء مثلث بود آن مثلث مجسم را ناری خوانند همچو چهار که از نضد سه و یک ترکیب یابد و چهار اول عددیست که هم خطیست و هم سطحی و هم مجسم همچو ده که از شش و سه و یک ترکیب یابد و بیست از 1 و 6 و 3 و 10 ترکیب یابد و علیهذا. و اگر قاعده مربع بود آنرا مخروط مربع خوانند همچون از چهار و یک و چهارده از نه چهار و یک و علیهذا. و اگر قاعده مخمس باشد آنرا مخروط مخمس خوانند و اول شش بود و دویم 18 و دیگر 45 و علیهذا. و مخروط مسدس و سایر اشکال را بر آن قیاس باید کرد. و بعد از مخروطات منشورات بود و او از نضد اشکال مثلثات متماثل بر یکدیگر پیدا شود و ابتدای آن 6 بود که از دو مثلث متولد گردد و بعد از آن 9 و 12 و هر یکی ازین منشورات را پنج قاعده بود و بعد از آن مجسماتی باشند که شش سطح به او محیط بود و آن به اقسام است یکی آنکه طول و عرض و عمق او متساوی بود و سطح قایم الزوایا آن را مکعب خوانند و از جمیع مربعات بعده جذر حاصل آید همچو صد از ده بدان عده و دیگر آنکه احدالاطوال مخالف بود پس اگر کمتر بود آنرا نسبی خوانند و از جمیع مربعات بعده جذر حاصل آید همچو 8 با 12 از 4 و اگر زیاده بود آن را عمودی خوانند همچو 25 و 32 و 45 از 4 و اگر اطوال همه متفاضل آید آن را خبی خوانند و زنبوری و مخصر نیز گویند و اگر مسطح اصغر بجسم عمودی دایر باشد آن مجسم را مستدیر خوانند چون ه در ه در بیشتر از پنج. و دایره هر عددی باشد که چون در نفس خود ضرب کنند دو باز آید همچو 5 و 6 و بعضی 5 را کروی خوانند چه او را چون در مربع خود ضرب کنند 120 حاصل آید مربع یا مکعب بازآید و همچنین با سایر منازل پس حفظ نفس خود با عشرات میکند و از این جهه گرد بود. باب چهارم در اقسام مناسبات و خواص هر یکی: بعضی از متقدمان مناسبات را بیست قسم کرده اند و بعضی بر ده اقتصار کرده اند و چون این موافق سایر قدماست ما نیز بر ده اقتصار کنیم که در اقسام دیگر فایده ای که آنرا اعتبار توان کرد نیست. وجه اول آنست که اعداد متفاضل بود به یک مقدار و آنرا تناسب عددی خوانند. وجه دویم آنکه اعداد در اول متناسب بود به اتصال با ثانی همچو ثانی با ثالث چنانکه 4 با 8 همچو هشت با 16 و این را تناسب هندسی خوانند و این دو وجه در اعداد و غیره با هم جمع نشوند چو هرگاه اعداد متفاضل باشند به یک مقدار هرآینه نسبت اعظم با اوسط ثانی نسبت اوسط بود با اصغر نه مثل آن در تناسب هندسی قطعاً تفاضل اعظم بیش از تفاضل اصغر بود و در تناسب عددی متساوی. وجه سیم آنکه تفاضل اعظمین با تفاضل اصغرین همچو طرف اعظم بود با طرف اصغر چنانکه 136 چه فضل 12 بر 8 اعنی 4 با فضل 8 بر 6 اعنی 2 بر نسبت ضعف بود همچو 12 با 6 و اینرا تناسب تألیفی خوانند بنابر آنکه ارتفاع بدین در صناعت موسیقی که آنرا صناعت تألیف خوانند بسیار بود و اصل مناسبات این سه قسمت و بواقی را بر سبیل تتمیم فن ایراد کرده اند و از خواص نسبت عددی آنست که ابداً سطح طرفین کمتر از مربع واسطه بود بمربع تفاضل اعداد، چنانکه ضرب 1173 مضروب سه در 11 یعنی 33 از مربع هفت اعنی چهل ونه بقدر مربع فضل اعنی شانزده کمتر بود. و از خواص نسبت هندسی آنکه واسطهء جذر مسطح طرفین بود و از خواص نسبت تألیفی آنکه مضروب مجموع طرفین در اوسط همچو ضعف مضروب طرفین بود، چنانکه مضروب هشت در 18 اعنی 144 ضعف مضروب 6 در 12 بود اعنی 72. و دیگر آنکه مضروب واسطه در اعظم ضعف مضروب او بود در اصغر چنانکه 8 در 12 یعنی 96 ضعف 8 در 6 اعنی 48. وجه چهارم آنکه تفاضل اصغرین با تفاضل اعظمین همچو اعظم بود با اصغر چنانکه 653 تفاضل اصغرین 2 و تفاضل اعظمین او نسبت ایشان نسبت 6 با 3 و چون وضع این تناسب برعکس تناسب تألیف است آنرا مضاده خوانند و طریق استخراج اوسط آنکه تفاضل طرفین را در اصغر ضرب کنند و حاصل را بر مجموع طرفین قسمت کنند و خارج را از اعظم بیندازند چنانکه 12 و 20 را طرفین فرض کنیم و تفاضل را اعنی 8 در اصغر ضرب کنیم و حاصل را اعنی 96 بر طرفین اعنی 32 قسمت کنیم خارج قسمت را اعنی 3 از 20 که اعظم است نقصان کنیم 17 که آن اوسط مطلوب است بماند، چه نسبت تفاضل میان او و اصغر که پنج است با تفاضل میان او و اعظم که 3 است و آن مثل و ثلثان بود همچو نسبت طرف اعظم است با اصغر. وجه پنجم آنکه نسبت اوسط با اصغر همچو نسبت تفاضل اصغرین باشد با تفاضل اعظمین همچو 542 و از خواص این قسم آنست که ضرب اعظم در واسطه ضعف ضرب اوست در اصغر. و این خاصیت عام نیست بل مخصوص است بدانکه اوسط ضعف اصغر بود. وجه ششم آنکه نسبت اعظم با اوسط همچو نسبت فضل اصغرین بود با فغل اعظمین چنانکه 1 و 4 و 6 و از خواص او آنست که اگر نسبت مثل و جزء بود واسطه مجذور بود و اگر جذر واسطه بر واسطه افزایند مبلغ طرف اعظم بود. وجه هفتم آنکه نسبت تفاضل طرفین با تفاضل اصغرین چون نسبت اعظم بود با اصغر همچو 6 و 8 و 9. وجه هشتم آنکه نسبت اعظم با اصغر چون نسبت تفاضل طرفین با تفاضل اعظمین همچو 976. وجه نهم آنکه نسبت اوسط با اصغر همچو نسبت تفاضل طرفین بود با تفاضل اصغرین همچو 744. وجه دهم آنکه نسبت اوسط با اصغر همچو نسبت تفاضل طرفین بود با تفاضل اعظمین چنانکه 853. و هرچند بیان این اقسام به اطنابی محتاج بود اما بنابر رعایت شرط مذکور از آن اعراض نمودیم. (نفایس الفنون فی عرایس العیون تألیف محمد بن محمود آملی، فن سیم از قسم دویم در علوم اوایل، مقالهء سیم).
|| مثال ارثماطیقی را قدما بصورت زنی جمیله ملبس بجامه ای که در حاشیهء آن این دو کلمه نوشته شده: «جفت، طاق» ممثل کنند. در دست وی لوحهء مخصوص ارقام است.
(1) - Arithmetique. (2) - به تصحیح قیاسی.
اکنون خواص اعداد متوالیه بر نظم طبیعی بیان کنیم و گوئیم هر جمله از اعداد متوالیه بر نظم عدهء آن جمله یا فرد باشد یا زوج. اگر فرد باشد هرآینه آن جمله را واسطه باشد و آن واسطه نیمهء حواشی متقابلهء خود بود و آن حواشی مبتدی باشد از دو طرف قریب او با دو نهایت آن جمله یکی بود تا هفت واسطهء چهار بود و او نیمهء مجموع سه و پنج و دو و شش و یک و هفت باشد و آن را اقرب حواشی سه و پنج بود و ابعد یک و هفت و اگر زوج بود لابد آن جمله را دو واسطه باشد که مجموع آن دو مساوی مجموع سایر حواشی متقابلهء آن دو عدد بود چنانکه از یکی تا هشت این جمله را دو واسطه است که آن چهار و پنج است و مجموع آن دو مساوی سی و شش و دو و هفت و یک و هشت باشد و از اینجا مقرر شد که مجموع دو حواشی متقابلهء هر عددی با هر دو عدد متوالی چون چهار و پنج یا غیرمتوالی چون چهار و شش متساوی باشند و از خواص اعداد متوالی از واحد آنست که اگر یکی بر عدد اخیر افزاید و در نیمهء عدهء اعداد ضرب کنند مثل مبلغ مجموع اعداد باشد چنانکه اگر یکی بر هشت افزایند و در نیمهء هشت ضرب کنند سی وشش که حاصل است مساوی جمیع اعداد هشت گانه باشد و اگر یکی بر نه افزایند و در نیمهء نه که چهارونیمست ضرب کنند و چهل وپنج که حاصل است مساوی اعداد نه گانه بود و از خواص متوالیه از واحد یا غیرواحد آنکه چون طرفین را در نیمهء عدهء اعداد ضرب کنند مبلغ مساوی مجموع آن اعداد بود چنانکه متوالیه از سه تا هفت سه را با هفت اعنی ده در دو نیم ضرب کنیم حاصل اعنی بیست وپنج مجموع این اعداد بود و از خواص جمیع این آنکه اعداد متتالیه که تفاضل آنها بواحد بود یا بنای معین از اعداد هرگاه که از عدد آن یکی اسقاط کنند و باقی را در عدد تفاضل ضرب کنند و اول اعداد خواه واحد بود و خواه عددی از اعداد بر آن افزایند مبلغ عدد اخیر بود از آنها و چون آن عدد را با اول جمع کنند و در عدهء اعداد ضرب کنند و مبلغ را تنصیف کنند یا در نصف آن عدد ضرب کنند حاصل مجموع آن اعداد بود مث ده عدد که اول آن سه بود و تفاضل پنج خواهیم که مجموع آن معلوم کنیم یکی را از ده نقصان کنیم و باقی را در پنج ضرب کنیم و حاصل را که چهل وپنجست به اول اعداد که سه است جمع کنیم چهل وهشت باشد و این آخر اعداد است پس سه بدان بیفزائیم و مبلغ را اعنی پنجاه ویک در نصف عدد اعنی پنج ضرب کنیم حاصل اعنی دویست و پنجاه پنج مساوی مجموع آن اعداد بود و آن اعداد اینست: 484338332823181383
و اگر پنجاه ویک را در ده ضرب کنند و مبلغ را اعنی پانصدوده را تنصیف کنند حاصل همان باشد و اگر اول این اعداد را واحد فرض کنند آخر چهل وشش بود و مجموع دویست و سی و پنج بود و حاصل آنکه هرگاه از واحد تا عدد مستوی و معکوس جمع کنند بر این وجه 23654321 و مبلغ بیست وپنج شود و حاصل آنکه مجموع اعداد با ماقبل عدد اخیر مثل مربع اخیر بود و هرگاه که اعداد متوالیه را از واحد جمع کنند مجموع اول نصف اخیر بود و مجموع سیم ضعف و نصف اخیر و مجموع چهارم ثلثهء امثال اخیر و پنجم ثلثهء امثال و نصف اخیر چنانکه 1 و 32 بود و 1 و 32 شش بود و 2 و 3 و 4 و 5 و علیهذا و چون خواهند که مجموع را معلوم کنند یکی بر آن مجموع افزایند تا عدد اخیر حاصل شود پس بر نیمهء آن عدد و نصف واحدی را افزایند و حاصل را در عدد اخیر ضرب کنند مطلوب آن بود مث مجموع دوازدهم خواستیم یکی بر او افزودیم سیزده شد این عدد اخیر است پس بر نیمهء سیزده اعنی شش ونیم نصفی بر او افزودیم هفت شد معلوم شد که مجموع دوازدهم سبعهء امثال اخیر است هفت را در سیزده ضرب کردیم نودویک حاصل شد که مطلوب بود و از خواص او آنکه مجموع اول مثل تالی آخر است و مجموع دویم مثل و نصف تالی آخر و سیم ضعف او و چهارم ضعف و نصف او و علیهذا مث 1 و 2 مثل سه باشد و یک و دو و سه مثل و نصف چهار و یک و 2 و 3 و چهار ضعف پنج.
و بعد از این در خواص زوج و فرد شروع کنیم و گوئیم ازواج و افراد متعالی با اعداد متوالی بر نظم طبیعی مشارکند در تفاضل بمقداری بعینه چه اعداد او طبیعی متفاضلند بواحد و ازواج و افراد متوالی متفاضلند باثنین چه هر زوجی را که واحدی برافزایند فرد شود و چون واحدی دیگر افزایند زوج شود و علیهذا پس لازم آید که هر واسط از افراد و ازواج متوالی نصف جملهء حواشی متقابلهء خود باشد چنانکه هفت نیمه و پنج و نه و نیمه و یازده و نیمه و یکی سیزده است و هشت نیمه شش و ده نیمه چهار و دوازده و نیمه دو و چهارده و همچنین هر دو فرد یا دو زوج متوالی نیمهء حواشی متقابلهء خود باشند چنانکه پنج و هفت نیمهء سه و نه و نیمه یکی و یازده بود و چهار و شش نیمهء دو و هشت و نیمه و چهار و شش باشد و این معنی مخصوص به ازواج و افراد نیست بلکه جمیع اعدادی که متوالی باشند بیک تفاضل شامل بود چنانکه بیست و پنج نیمهء بیست و سی پانزده و سی و پنج و ده و چهل و پنج و چهل و پنج بود چه این اعداد تفاضل پنج متوالی اند و از خواص افراد متتالیه آنست که مجموع آن از واحد ابداً مربع باشد چنانکه مجموع یک و سه و چهار بود و مجموع یک و سه و پنج و نه و مجموع یک و سه و پنج و هفت و شانزده و دیگر آنکه چون استعلام فردی کنند که در مرتبهء واقع باشد عدد آن مرتبه را مضاعف کنند و یکی نقصان کنند باقی مطلوب بود چنانکه اگر فرد دهم خواهند از ضعف ده یکی کم کنند نوزده بماند و آن فرد دهم بود. دیگر آنکه آحاد این افراد در ششم خود بازآید چنانکه در یازده و بیست و یک و سه در سیزده و بیست و سه و سی و سه و هم بر این قیاس. دیگر آنکه چهارم بعد از اول مربعات این افراد مربع بود همچو نه که چهارم واحد است و هشتم بعد از ثانی مربعات اعنی بیست و پنج که هشتم است بعد از نه و دوازدهم بعد از ثالث اعنی چهل و نه بعد از بیست و پنج و علیهذا عدد مرتبه مربع از افراد در چهار ضرب باید کرد بعد از آن مربع افراد متوالی بدان عدد شمردن تا بمربع مطلوب رسد. دیگر آنکه هر مجذوری فرد مساوی ضعف عدد مرتبه او بود با یکی ابداً اگر مبدأ سه باشد و الا یکی اگر مبدأ یکی باشد چنانکه بیست و پنج مساوی ضعف دوازده باشد با یکی اگر مبدأ سه باشد چه ح او دوازدهم باشد و مساوی ضعف سیزده الا یکی اگر مبدأ یکی باشد و دیگر آنکه افراد متتالیه را در جدولی مثلث بر این صورت مث ثبت کنند خواص دیگر بحسب این وضع ظاهر شود چه جملهء اعدادی که از واحد بر استقامت عمود مثلث فرود آید مربعات فرد متوالی بود و مجموع اعدادی که در صف عرضی باشد مکعب بود و از صفوف عرضی علی الولا مکعبات متوالی برخیزد و اگر این افراد در جدول مربع فرض کنند بر این صورت مث هر صلیبی که از دو سطر متقاطع آن سطور قطری مؤلف شود خواه قطر شکل باشد و خواه نه بشرط تساوی سطرین مجموع هر دو سطر متساوی باشد چه مجموع هر قطری از این شکل شصت وچهار بود و مجموع هر سطری از 1 و 11 و 21 و 15 و 11 و 17 سی وسه بود و مجموع هر یکی از سه و 13 و 23 و 7 و 13 و 19 سی ونه و مجموع هر یکی از 11 و 21 و 13 و 19 سی ودو مجموع طرفین سطر هر صلیبی مساوی مجموع طرفین سطری دیگر بود چنانکه مجموع 1 و 3 و 1 و 7 و 25 سی ودو و مجموع 9 و 29 و 13 و 25 سی وهشت و مجموع اعداد هر مربعی که مشتمل بر این افراد بود مساوی مال مال ضلع مربع بود چه اگر مربع دو بر این صورت ثبت کنند مجموع اعدادش شانزده بود و اگر مربع سه ثبت کنند بر این صورت مجموع اعداد آن هشتادویک بود و مربع چهار و دویست و پنجاه شش و نیز مجموع قطر هر مربعی مکعب ضلع آن مربع بود چنانکه قطر مربع دو هشت باشد و قطر مربع سه بیست و هفت و قطر مربع چهار شصت و چهار.
و از خواص ازواج متوالیه آنست که هر مجموع از آن مساوی مربع عدهء آن اعداد بود با جذر آن مربع چنانکه مجموع اول شش بود مساوی مربع دو با دو و مجموع ثانی اعنی 2 و چهار و 6 دوازده بود مساوی مربع سه با سه و مجموع ثالث اعنی 2 و 4 و 6 و 8 بیست بود مساوی مربع چهار با چهار و از خواص عدد زوج آنکه اگر واحدی از آن نقصان کنند و باقی عدد فرد اول بود آن زوج مساوی اجزای مربع آن اول بود چنانکه چهار مجموع اجزای مربع سه بود و اگر سه از آن نقصان کنند و باقی اول بود آن زوج مجموع اجزای ضعف آن اول بود چنانکه شش اجزای ضعف سه بود و هشت اجزای ضعف دو ده اجزای ضعف هفت.
و بعد از این ذکر خواص انواع زوج و فرد یاد کنیم و انواع زوج را مقدم داریم. بدانکه هر عددی زوج الزوج را جملهء اعداد زوج الزوج که پیش از او بود عد کند و مربع زوج الزوج، زوج الزوج بود و همچنین مکعب و سایر منازل او بل مضروب زوج الزوج در زوج الزوج ابداً زوج الزوج بود و از عدد زوج الزوج چون زوج اول بیندازند باقی زوج الفرد بود چنانکه از هشت اگر دو بیندازند باقی زوج الفرد بود و همچو شانزده که از او چون دو بیندازند باقی زوج الفرد همچو سی ودو چون دو بیندازند و زوج الزوج ناقص بود بواحدی ابداً و از خواص این عدد آنکه استخراج اعداد تامهء متحابه و زایده و ناقصه باین اعداد میسر گردد. اما طریق استخراج تامه آنست که از هر زوج الزوجی که باشد یکی بیندازند اگر باقی عدد اول باشد آنرا در زوج الزوج مقدم ضرب کنند حاصل تام بود چنانکه از چهار یکی بیندازند و باقی را در دو ضرب کنند شش حاصل آید و آن تام است و از هشت یکی بیندازند و هفت را در چهار ضرب کنند بیست وهشت حاصل آید و آن تام است چه اجزای او منحصر بود در 147421 و از سی ودو یکی بیندازند و سی دیگر را در شانزده ضرب کنند 496 حاصل آید و آن تام است چه اجزا منحصر بود:
2481246231168421 و اما اعداد متحابه هر دو عدد بود که هر یکی مساوی مجموع اجزای آن دیگر باشد چنانکه 220 و 284 چه اجزای اول منحصر است در:
110554422211105421 چه صدوده نصف اوست و 55 ربع او و 44 خمس او و 22 عشر و 20 جزوی از 11 و11 جزوی از 20 و 10 جزوی از 22 ده جزوی از 44 و 4 جزوی از 55 و 2 جزوی از صدوده و 1 جزوی از دویست وبیست و مجموع این اجزاء مساوی ثانیست و اجزای ثانی منحصر است در 104271421 چه صدوچهل ودو نصف اوست و هفتادویک ربع او و چهار جزوی از هفتادویک و دو جزوی از صد و چهل و دو و یک جزوی از دویست و هشتاد و چهار و این اجزا مساوی اول است و این دو عدد غیر این اجزا ندارند چه مراد از جزو آنست که عد ایشان کند و غیر این اجزاء عد ایشان نمیکند و طریق استخراج متحابین آنکه از عدد زوج الزوج یکی کم کنیم و زوج الزوج ماقبل هم بر آن باقی افزائیم و زوج الزوج ماقبل هم از آن باقی نقصان کنیم اگر سه عدد که ازین سه عمل حاصل شود همه اول باشند مضروب حاصل ثانی را در حاصل ثالث در زوج الزوج ماقبل ضرب کنیم تا اصغر متحابین حاصل آید بعد از آن مضروب ثانی در ثالث را با ثانی و ثالث بشرط آنکه همه اول باشند و زوج الزوج ماقبل ضرب کنیم تا اعظم المتحابین حاصل آید مث از هشت یکی کم کردیم و چهار بر باقی افزودیم و دو هم از باقی کم کردیم 5117 حاصل آید هر سه اول پس مضروب یازده در پنج اعنی پنجاه وپنج را در زوج الزوج ماقبل هشت اعنی چهار ضرب کردیم دویست وبیست حاصل شد پس یازده و پنج بر پنجاه وپنج افزودیم هفتادویک شد و چون او نیز اول بود در چهار ضرب کردیم دویست و هشتاد و چهار حاصل شد.
و طریق استخراج اعدد زایده و ناقصه آنست که از عدد زوج الزوج یکی کم کنیم پس اگر زاید خواهیم اولی که کمتر از باقی بود جز دو در زوج الزوج ماقبل ضرب کنیم و اگر ناقص خواهیم اولی که بیشتر بود حاصل مطلوب بود مث از هشت یکی کم کردیم هفت ماند اکنون اگر چهار را در سه یا پنج زنیم حاصل زاید بود چه در اول حاصل دوازده بود و اجزای او اعنی 64321 و در ثانی حاصل بیست بود و اجزای او اعنی 105421 بیست ودو و چندانکه نقصان اول مضروب فیه از باقی بیشتر بود زیاده پیش بود و قدر زیاده دائماً مثل فضل باقی بود بر مضروب فیه و اگر چهار را در یازده یا سیزده زنیم حاصل ناقص بود چه در اول 44 بود و اجزای او منحصر است در 221421 و مجموع آن چهل و در ثانی 502 و اجزای او اعنی 2613421 و مجموع آن چهل وشش باشد و چندانکه زیادهء مضروب فیه بر باقی پیش بود نقصان زیاده باشد و قدر نقصان دائما مثل زیاده مضروب فیه بر باقی. و بوجهی دیگر هرگاه که زوج الزوج را در عدد اول ضرب کنند بباید دید اگر آن زوج الزوج بر نصف آن فرد بنصف واحد زیاده بود چنانکه زیادتی دو بر نصف سه حاصل اعنی دو از 6 تام باشد و اگر زیاده از نصف زاید بود چنانکه زیادتی 4 بر نصف سه حاصل اعنی 12 زاید باشد والا ناقص.
نوع دوم زوج الفرد بود و از خواص او آنست که او را هیچ زوج عد نکند الا بعددی فرد و هیچ فرد عد نکند الا بعددی زوج و جزء زوجش سمی فرد باشد چنانکه دو از شش ثلث باشد و جزء فردش سمی زوج بود چنانکه سه از او نصف باشد و تولد او از ضرب افراد متوالیه بود در دو پس تفاضل میان متوالیات او بچهار باشد و از خواص او آنکه چون دو جزء جملهء این اعداد بود پس اگر از هر عددی زوج الفرد بعدهء سمی آن جزء بعد از آن عدد بشماری بعددی منتهی شود که این جزء ازو درست آید مث دو از شش ثلث بود سمی سه پس اگر از شش سه بشماری منتهی شود بهجده و او را ثلث صحیح بود و از ده خمس بود پس اگر بعد از او پنج بشماری منتهی شود بسی که او را خمس صحیح بود و از چهارده سبع بود و بعد از چهارده بهفت مرتبه چهل و دو بود و او را سبع صحیح باشد و دیگر آنکه دو را با سمی مرتبهء عددی مربع جمع کنند مبلغ مربع بود چنانکه دو با چهارم اعنی چهارده شانزده بود و با نهم اعنی سی وچهار و سی وشش و با شانزدهم اعنی 62 شصت و چهار و اگر واحد را مبدأ نظام این اعداد سازیم و شش را که ثالث این اعداد بود با مراتبی که سمی مربعات بود جمع کنیم اعداد مربع حاصل آید چنانکه با چهارم اعنی ده شانزده بود و با نهم اعنی سی وشش و با شانزدهم اعنی پنجاه وهشت شصت وچهار. دیگر آنکه باز مضروب سمی هر مرتبه در تفاضل مراتب چون عدد اول نقصان کنند عدد آن مرتبه حاصل آید مث در مرتبهء رابع چهار در چهار ضرب کنند و دو بیندازند چهارده بماند و آن مرتبه چهارم بود و عکس این معنی هم درست است چه هرگاه که دو مرتبه ازین مراتب افزائیم و ربع این مبلغ بستانیم یعنی بر چهار قسمت کنیم اسم آن مرتبه حاصل مشتق بود چنانکه دو بر بیست ودو افزائیم بیست وچهار شود و رُبعش بستانیم شش بود گوئیم آن مرتبهء ششم است. دیگر آنکه مضروب ضعف عدد مراتب مساوی اعداد مجموع مراتب بود چنانکه اگر مراتب پنج بود اعنی 1814162 ده در پنج مجموع آن اعداد بود و اگر این اعداد را در مربع شش ثبت کنند از خواص این جدول آن بود که آحاد هر سطری عرضی مثل آحاد آخر همان سطر بود و همچنین اعدادی که در سطور قطری افتاده باشد مبتدی از یسار و اعلی جدول در آحاد و صفر مشترک باشند و دیگر آنکه دو طرف قطر هر صلیبی مساوی مجموع دو طرف قطر دیگر بود چنانکه 2 و 142 و 22 و 122 و 24 و 138 مثل 42 و 122 و نیز مجموع طرفین اقطار هر صلیبی که در مربعات متداخله افتد متساوی باشند چنانکه 22 و 42 و 18 و 46 و همچنین هشت پنج و 86 و 62 و 82 و علیهذا. و دیگر تفاضل میان هر عدی و آنچه بر بالای آن موضوع بود یکسان بود چنانکه تفاضل 26 و 2 و 84 و 50.
نوع سیم زوج الزوج والفرد بود و از آن جهت که او قابل تنصیف تا بواحد نه بود مشابه زوج الفرد باشد و از آن جهت که بیش از یکبار قابل تنصیف بود مشابه زوج الزوج باشد و تولد او از ضرب اعداد زوج الزوج بود غیر دو و در افراد متوالی چنانکه از چهار در سه دوازده و از چهار در پنج بیست و علیهذا چندانکه زوج مضروب اعظم بود قبول تنصیف در حاصل زیاده باشد و این اعداد متوالی باشند بتفاضل هشت و در این اعداد زاید و ناقص و تام توان یافت. اما تام همچو هشت و دو بر تامی که بعد ازو بود. اما ناقص مثل 44 که بیان آن ذکر رفت و اما زاید همچو 12 و 20 و غیر آن و درین اعداد مربعات نیز باشند و تولد آن مربعات از ضروب اول ازواج بود در اول افراد یعنی دو در سه و تربیع حاصل اعنی شش و ثانی از ضرب همان زوج الزوج در ثانی افراد بود و تربیع حاصل اعنی ده و علیهذا القیاس و تفاضل این اعداد ابداً زوج الزوج بود چه اگر ضرب چهار در افراد متوالیه متولد گردد تفاضل سی ودو بود. اینست آنچه در ذکر خواص ازواج مهم بود.
اکنون بیان کنیم که دو که اول اعداد است از کدام نوع است. شیخ در شفا آورده است که: بعضی گمان بردند که دو زوج الفرد است از آن جهت که در تنصیف منتهی بزوج نیست و بعضی گفته اند زوج الزوجست چه در تنصیف منتهی بواحد است و بعضی گفته اند زوج الزوج والفرد است معاً و مبدأ هر دو و بعد از آن گفته که نزد من آنست که زوج الزوج بحقیقت عددی بود که نصف او زوج باشد و نصف هر نصفی ازو که غیر واحد است زوج و زوج الفرد آنکه نصف او فرد باشد و فرد عدد باشد و واحد نیز بود از آن جهت که غیرمنقسم است بمتساویین و زوج جز عدد نباشد و حق آنست که در تسمیه مناقشه نکند. و بعضی از متأخران گفته اند که زوج اگر در تنصیف بواحد منتهی شود زوج الزوج بود و الا اگر قبول تنصیف بیش از یکبار کند زوج الزوج والفرد بود و اگر نه زوج الفرد و این طریقه بصواب نزدیکتر است چه دو را از زوج الزوج شمردن تا باز بسلسلهء اعداد زوج الزوج از واحد منتظم شود و احکام متناسب شامل گردد اولی بود از آنکه او را زوج الفرد گیرند چه واحد را فرد گرفتن بحقیقت مجاز است چه فرد از اقسام عدد است چنانکه مشهور و متداولست و کثرت مجتمعه الواحده شامل آن واحد نیست مگر بعدد آن خواهند که در مراتب عدد افتد.
بعد از این در خواص انواع فرد شروع کنیم و گوئیم در اصول معلوم شده که فرد یا اولست یا مرکب از دو اول یا در نفس خود بود یا بقیاس با عددی دیگر و از خواص افراد مرکبه آنست که ثالث فرد اول اعنی سه مرکب باشد و آن نه است و همچنین ثالث نه پانزده و ثالث ثالث او بیست یک و همچنین الی غیرالنهایه و نیز خامس فرد اول ثانی اعنی پنج و خامس خامس او الی غیرالنهایه مثل پانزده و بیست وپنج و نیز سابع هفت و سابع سابع او الی غیرالنهایه مثل بیست ویک و سی وپنج و چهل ونه و نیز یازدهم الی غیرالنهایه مثل سی وسه و پنجاه وپنج و هفتادوهفت و علیهذا این جمله مرکبست و دیگر آنکه سه مرکباتی را که ازو منتظم است عد کند اما اول را که نه است بنفس خود که فرد اولست و ثانی را پانزده است بفردی که ثانی اوست اعنی پنج و ثالث را که بیست ویکست بهفت و علیهذا. و همچنین پنج اول از مرکبات او را که ثانی نه است اعنی پانزده بفرد اول عد کند و ثانی را که بیست پنج است بنفس خود که ثانی است و ثالث را بثالث که هفت است و هم بر این قیاس سایر افراد مرکبات را عد کند.
باب دویم در خواص اعداد از جهت اضافت که آنرا نسبت خوانند و مضاف را منسوب و مضاف الیه را منسوب الیه. پس اگر منسوب مساوی منسوب الیه بود آن نسبت را نسبت مساوات خوانند و اگر اعظم بود نسبت زاید والا ناقص و زاید یا بسیط بود یا مرکب. بسیط آن بود که معدود منسوب الیه باشد چنانکه شش با دو. و مرکب غیر آن چنانکه شش با چهار و بسیط ضعف بود و اگر بعدت دو معدود باشد همچو شش با سه نه و امثال آن اگر عدد بیش از دو بود چنانکه شش با دو و هر صنفی از امثال بعدت عدد مقید باشد چنانکه ثلثه امثال و اربعه امثال و جماعتی از امثال را که عدهء او زوج الزوج بود اضعاف گویند مفید بعدهء مذکور چنانکه هشت را با دو اربعه اضعاف و شانزده را ثمانیه اضعاف و سی ودو را سته عشر ضعفا و این اصطلاح صناعت موسیقی بود و مرکب آن باشد که نسبت مساوات که آن را مثل گویند یا نسبت امثال یا نسبت جزء با اجزاء ترکیب یافته باشد و مراد از اجزاء آنست که بیش از جزء واحد باشند خواه دو جزء باشد خواه بیشتر همچو مثل و نصف در دو و سه و مثل و ثلثان در سه و پنج و ضعف و نصف در دو و پنج و ثلثه امثال و ثلثه ارباع در چهار و پانزده و نسبت بسیطه سه نوع است نسبت مثل و نسبت ضعف و نسبت امثال و در اصطلاح مذکور چهار، چه اضعاف نیز قسمی بود و انواع نسبت مرکبه شش است و باصطلاح مذکور هشت چه هر یکی را از نسبت بسیط با جزء و با اجزاء اعتبار باید کرد چنانکه مثل و جزء و مثل و اجزاء. و ضعف و جزء و ضعف و اجزاء و امثال و جزء و امثال و اجزاء اضعاف و جزء و اضعاف و اجزاء. و اما نسبت ناقص منحصر بود در دو جزو و اجزاء و عادت چنانست که تعبیر از آن بر این وجه کنند که آنچه تحت فلانست مث از جزء بدانچه تحت زاید و جزو است و از اجزاء بدانچه تحت زاید و اجزاست و باشد که جزء را اسمی از امثال اشتقاق کنند بر تقدیر عکس مث اسم یکی از پنج را از اسم پنج اشتقاق کنند و گویند خمس و در اسم یکی از یازده گویند جزوی از یازده شود جزء از جزء واحد و باشد که اسم آن را مضاف ترکیب کنند چنانکه نصف سدس در یکی از دوازده و نسبت مثل متنوع نشود ولیکن سایر بسایط زاید متنوع شود چه اولش ضعف بود چنانکه 1 و 2 و دویم ثلثه امثال همچو 1 و 3 و سیم اربعه امثال همچو 1 و 4 و چهارم خمسه امثال همچو 1 و 5 و علیهذا. و اعداد هر یکی ازین سبب نامتناهی تواند بود چنانکه ضعف در طرف اعظم و اصغر متزاید گیرند باعداد بر این نسق الی غیرالنهایه متولد گردد 1 و 2 و 2 و 4 و 3 و 6 و 4 و 8 و هم برین قیاس در سایر نسبت و هر یکی از نسبت مرکبه هم متنوع شود مث مثل و جزء را انواع بی نهایت بود بحسب جزء چه اول آن مثل و نصف بود چنانکه 2 و 3 و افراد او بتزاید امثال طرفین متزاید گردد بر این منوال 64 و 96 و 128 و نسبت مثل و ثلث چنانکه 3 و 4 و دیگر مثل و ربع چنانکه 4 و 5 و همچنین بحسب نسبت واحد در ازای اعداد طبیعی متنوع گردد و جدولی رسم کنیم مربع ده و اعداد طبیعی از واحد در دو سطر اول طولی و عرضی ثبت کنیم و در سایر خانه های مضروب دو عدد که مقابل آن خانه باشد بر این صورت تا احکام نسبت از آنجا نیکو روشن شود چه اعداد سطر دویم از این سطر طولا و عرضاً ضعف اعداد سطر اول باشد و سیم ثلثه امثال و چهارم اربعه امثال و علیهذا تفاضل زوج مذکور چه ابداً طرف اعظم و اصغر هر یک بقدر اول متفاضل باشد و سطر سیم مثل و نصف سطر دویم و تفاضل همچنان و چهارم مثل و ثلث و سیم و پنجم مثل و ربع چهارم و زیادت هر سطری بر متقدم بیک مرتبه بواحد بود در خانهء اول و بدو در خانهء دویم و بسه در خانهء سیم و بر متقدم بدو مرتبه بدو در خانهء اول و به چهار در خانهء ثانی و شش در خانهء سیم بر ترتیب ازواج متوالی و بر متقدم بسه مرتبه بسه در خانهء اول و بشش در ثانی و به نه در ثالث و علیهذا. و از خواص این جدول آنکه جملهء اعداد قطر چون ابتدا از یمین و اعلی جدول کنند مربع حاشیه بود و همچنین هر دو مربع متوالی چون چهار و نه متممین که از هر دو طرف افتاده باشد چون شش به واحدی زیاده باشد و چون دائماً مجموع این دو مربع یا متممین هشت و پنج است در این مثل مربع است پس ضعف مجموع مربعین الا واحد همان مربع بود و ضعف مجموع متممین با واحد همچنین و نیز مضروب هر مرتبه از سطری در مرتبهء دیگر در سطری دیگر مثل حاصل همان مرتبه بود از مضروف فیه در همان مرتبه از مضروب مث ثانی اول در خامس رابع اعنی 2 در 20 مثل ثانی رابع در خامس اعنی 8 در 5 بود و نیز مضروب هر عددی از سطرین قطری در عددی دیگر از همان سطر مثل مضروب طرفین قطر دیگر بود متقاطع قطر اول بوجهی که هر دو صلیب مربعی شوند چنانکه یکی در صد مثل ده در ده بود و شش در بیست مثل ده در دوازده و علیهذا القیاس و این چند خاصیت از خواص جدول بر سبیل استطراد گفته شد.
اکنون گوئیم بعد از نسبت مثل و جزء نسبت مثل و اجزاء بود و مثل و اجزاء یا ملخص بود یا غیرملخص. ملخص آن بود که بجزء یا باجزاء مختصرتر از آن اجزاء از او تعبیر نتوان کرد چنانکه مثل و ثلثان 3 و 5 و غیرملخص آنکه بجزء یا به اجزاء اخصر اخصر از آن اجزاء از او تعبیر توان کرد همچو مثل در ربعین 4 در 4 که از آن تعبیر بمثل و نصف توان کرد و همچو مثل و اربعه اعشار ده و چهارده که تعبیر از آن بمثل و خمسان توان کرد پس اگر تلخیص را شرط بگیرند این نسبت مبتدی باشد از مثل و ثلثان سه و پنج بعد از آن مثل و ثلثه ارباع چهار و هشت و دیگر مثل و اربعه اخماس پنج و نه همچنین بتزاید طرفین اما اصغر به آحاد و اما اعظم به اثنیات و چون در یکی از این انواع اصغر و اعظم متعین باشد نسبت جملهء اعدادی که در ترتیب واقع باشند میان اعظم طرفین اما اصغر آنچه زاید باشد بر اصغر بواحدی یا اصغر انواع دیگر بود مشارک نوع اول در مخرج مث در نوع و اربعه اخماس پنج و نه و نسبت پنج و هفت که پنج و هشت واقعند میان شش و نه و تعبیر از ایشان بمثل و خمسان و مثل و ثلثه اخماس کنند دو نوع دیگر باشند مشارک به انواع اول در مخرج اعنی پنج. اما بسیار باشد که نسبت اعداد مذکور به اصغر غیرملخص بود چنانکه نسبت شش با هشت که مثل یا دو سدس و ثلث آنست و غیرملخص چه تعبیر از آن بمثل و سدس میتوان کرد و همچنین شش و نه مثل و ثلثه اسداس غیرملخص است چه تعبیر از آن بمثل و نصف میتوان کرد.
باب سوم در خواص اعداد از جهت تشکل به اشکال چون تألف اعداد و تولد آن از آحاد است پس اگر واحد را در کتابت به صورت مشابه صور مقادیر تصور کنند اعداد را خطی و سطحی و جسمی خوانند. و اما اعداد خطی آن بود که در صورت کتابی بر یک صف مستوی رسم کنند بر این صورت ه ه ه ه ه و جملهء اعداد خطی تواند بود. و اما سطحی اعدادی تواند بود که از تألف آحاد آن به صورت کتابی صورت مشابه سطحی حادث گردد و اول مسطحات اعداد مثلث است و آن اعدادی بود که آحاد آنرا به صورت مثلثی متساوی الاضلاع ثبت توان کرد و اول آن سه بود بر این صورت:
ه
ه ه
و ثانی شش چه اضافهء ثلثه و خطی به صورت سابق متولد گردد بر این صورت:
ه
ه ه
ه ه ه
و چون عدد خطی که تالی عدد سابق بود بر این شکل اضافه کند مثلثی که تالی آن بود حادث شود بر این صورت:
ه
ه ه
ه ه ه
ه ه ه ه
و از این استقرار معلوم شود که مثلثات از جمیع اعداد متوالیه از واحد متولد گردد و اول آن سه بود پس شش پس ده و ضلع مثلث اول دو بود و ضلع مثلث دویم سه و علی هذا. پس هر مثلثی بر مثلث سابق بعدد ضلع خود زیاده بود و ضلع هر مثلثی بر رتبت او بواحدی زیاده و چون رتبه معلوم شد و خواهند که ضلع او معلوم کنند یکی بر عدد رتبه افزایند مث ضلع مثلث دهم یازده بود و علیهذا. و اگر واحد را از مثلثات گیرند عدد اضلاع مساوی رتبت بود لیکن اگرچه واحد بالقوه مربع و مکعب بود اما مثلث و مربع به اعتبار شکل بود نه بالقوه و نه بالفعل و هر مثلثی از ضرب ضلع او با زیاده واحد در نصف عدد رتبه از واحد حاصل گردد مث مثلث خامس از ضرب شش در نیمهء پنج بود و حاصل پانزده و مثلث سابع از ضرب هشت در نیمهء هفت بود و حاصل بیست وهشت و بعد از اعداد مثلث اعداد مربع بود و صورت آن از اعداد خطی مساوی مرتسم شود که عدهء آن خطوط مساوی عدهء آحاد هر خطی بود و آحاد اضلاع آن بر ترتیب اعداد طبیعی و اولش دو باشد و مربع آن بر این صورت:
هشهش
و ثانی سه مربعش چنین:
هشهشهش
و ثالث چهار و مربعش چنین:
ه ه ه ه
ه ه ه ه
ه ه ه ه
ه ه ه ه
و ابداً اعداد آحاد این مربعات مساوی مربع ضلع بود چنانکه در مربع دو آحاد چهار بود و در سه آحاد نه و در چهار شانزده و علیهذا و چنانکه مثلثات متوالی از جمیع اعداد طبیعی ولا متولد شد مربعات متوالی از جمیع افراد طبیعی با واحد متولد شود چنانکه یکی با سه چهار بود و آن مربع اولست و یکی با سه با پنج نه و آن مربع ثانیست و علیهذا. فی الجمله چون اعداد طبیعی را از واحد به ترتیب مستوی و معکوس جمع کنند حاصل مثل مربع نهایت بود چنانکه 121 مربع 2 و اول مربعاتست و این طریقه را در انشاء مربعات مرقص کنند و حاصل او آنکه مجموع هر اعداد متوالی که با مجموع آنکه کمتر از آن اعداد باشد بمرتبهء اخیر مربع بود و هرگاه که جذر مربعی در جذر مربع دیگر ضرب کنند و ضعف آن با هر دو مربع جمع کنند مبلغ مربع بود چنانکه اگر سه را در پنج ضرب کنند و ضعف آن اعنی سی با نه و بیست وپنج جمع ضرب کنند مبلغ اعنی شصت وچهار مربع بود و جذر او مساوی مجموع آن دو جذر باشد و بعد از اعداد مربع اعداد مخمس بود و اول او پنج باشد. بر این صورت:
ه
ه ه
ه ه
و ضلع آن دو بود و صورت مخمسات از صورت مربعات اضلاع مخمس مرتسم شود و اول بعد از آنکه یک ضلع را از اضلاع چهارگانه قاعده مثلثی سازند و آن صورت مربع به این مثلث تمام کنند مث صورت مخمس ثانی چنین باشد:
ه
ه ه
ه ه ه
ه ه ه
ه ه ه
و عدد آن دوازده و صورت مخمس ثالث چنین:
ه ه ه
ه ه ه ه
ه ه ه ه
ه ه ه ه
ه ه ه ه
ه ه ه
و عدد آن بیست ودو. پوشیده نماند که آن مخمسات متساوی الاضلاع نبود بلکه آن دو ضلع که بسبب مثلث حادث شود کوتاه تر بود و مخمسات از جمیع اعداد متوالی بتفاضل سه سه متولد گردد و ترتیب آن اعداد چنین بود 19161310741 و مخمسات برولا چنین 753522125 و چنانکه هر مربعی از مثلثی در رتبهء او با مثلث ماقبل متولد گردد هر مخمسی از مربعی در رتبهء او با مثلثی که رتبه اش بواحدی کمتر بود چنانکه مخمس دویم 12 از مربع دویم و مثلث اول 3 و مخمس سیم 22 از مربع 16 و مثلث دویم 6 8پس هر مخمسی از سه مثلث مجتمع گردد یکی در رتبهء او و دو بواحدی فروتر پس هر مخمسی مثل مثلثی بود مساوی او در رتبه و ضعف و ماقبل و چون خواهند که عدد مخمس معلوم کنند اگر در رتبه از واحد گرفته باشند از عدد رتبه یکی کم کنند و در سه اعنی تفاضل اعدادی که مخمسات از جمع حاصل میشود ضرب کنند و دو بر آن افزایند و در نصف عدد رتبه ضرب کنند حاصل عدد مخمس بود مث مخمس رابع را از چهار یکی بیندازند و سه در سه ضرب کنند و دو بر او افزایند یازده شود در نصف عدد رتبه اعنی دو ضرب کنند حاصل 22 مخمس رابع بود.
و بعد از مخمسات مسدّسات باشد و اول آن شش بود و صورت او از مربع آحاد ضلع بعد از آنکه از دو جهت متقابل بدو مثلث تمام کنند بر مثال مخمسی که بمثلثی تمام کرده اند مرتسم شود بر این صورت:
و مسدسات از جمیع اعداد متفاضل بچهار چهار حادث شود همچون 211713951 پس مسدس ثانی پانزده بود و ضلعش سه بر این صورت: و مسدس ثالث 28 و ضعلش چهار و رابع 45 و ضلعش پنج و خامس 66 و علیهذا القیاس و چون مخمس را با مثلثی که در رتبه بعد از مخمس باشد جمع کنند مسدس در رتبه مخمس حاصل آید چنانکه اگر مخمس چهارم را 35 با مثلث سیم 1 جمع کنند مسدس چهارم 45 حاصل آید و چون هر مخمس مثل مربع آن رتبه بود با مثلث ماقبل پس هر مسدس مثل مثلث آن رتبه بود با ثلث امثال مثلث ماقبل و همچنین هر مسبعی مثل مثلث آن رتبه بود با اربعهء امثال مثلث ماقبل و هر مثمن مثل مثلث آن رتبه و خمسه امثال مثلث ماقبل. و ازینجا گفته اند که تولد جملهء اشکال عددی از مثلثاتست و چون خواهند که از مثلثات تولید شکلی کنند سه از سمی آن شکل بیندازند و مثلثی که در رتبه آن شکل بود با مضروب مثلث قبل در باقی جمع کنند حاصل شکل مطلوب بود. مث مسدس هفتم را سه از شش بیندازیم سه باقی ماند و مثلث هفتم را 28 با مضروب مثلث ششم 21 در سه اعنی 63 جمع کنند حاصل 91 مسدس هفتم بود. و بعد از مسدسات مسبعات بود و از جمیع اعداد متفاضل به پنج پنج حاصل آید و مثمنات از جمیع اعداد متفاضل بشش شش و متسع از جمیع اعداد متفاضل بشش شش و متسع از جمیع اعداد متفاضل بهفت هفت و علیهذا القیاس. و بباید دانست که چون از مسدس بگذرند تصویر آحاد بصور اشکال متعذر باشند اما اسامی مطرد باشند بنابر آنکه تولد آن اعداد از اجتماع اعداد متوالی از واحد بر یک نظام است مثلثات از جمیع اعداد بتفاضل یک یک چون 1 و 2 و 3 و مربعات بتفاضل دو دو چون 1 و 3 و 5 و علیهذا.
و اعداد مجسمه اعدادی بود منقسم باعداد سطحی چنانکه از نضد آن سطوح بر بالای یکدیگر یا از اضافت آن سطوح بواحد صورتی مشابه مجسم متصور شود و اول آن اعداد مخروطی بود و آن هر عددی بود که از قاعدهء سطحی ابتدا کند و بسطوح متوالیهء متشابه آن مرتفع میشود تا بواحد. اگر قاعدهء مثلث بود آن مثلث مجسم را ناری خوانند همچو چهار که از نضد سه و یک ترکیب یابد و چهار اول عددیست که هم خطیست و هم سطحی و هم مجسم همچو ده که از شش و سه و یک ترکیب یابد و بیست از 1 و 6 و 3 و 10 ترکیب یابد و علیهذا. و اگر قاعده مربع بود آنرا مخروط مربع خوانند همچون از چهار و یک و چهارده از نه چهار و یک و علیهذا. و اگر قاعده مخمس باشد آنرا مخروط مخمس خوانند و اول شش بود و دویم 18 و دیگر 45 و علیهذا. و مخروط مسدس و سایر اشکال را بر آن قیاس باید کرد. و بعد از مخروطات منشورات بود و او از نضد اشکال مثلثات متماثل بر یکدیگر پیدا شود و ابتدای آن 6 بود که از دو مثلث متولد گردد و بعد از آن 9 و 12 و هر یکی ازین منشورات را پنج قاعده بود و بعد از آن مجسماتی باشند که شش سطح به او محیط بود و آن به اقسام است یکی آنکه طول و عرض و عمق او متساوی بود و سطح قایم الزوایا آن را مکعب خوانند و از جمیع مربعات بعده جذر حاصل آید همچو صد از ده بدان عده و دیگر آنکه احدالاطوال مخالف بود پس اگر کمتر بود آنرا نسبی خوانند و از جمیع مربعات بعده جذر حاصل آید همچو 8 با 12 از 4 و اگر زیاده بود آن را عمودی خوانند همچو 25 و 32 و 45 از 4 و اگر اطوال همه متفاضل آید آن را خبی خوانند و زنبوری و مخصر نیز گویند و اگر مسطح اصغر بجسم عمودی دایر باشد آن مجسم را مستدیر خوانند چون ه در ه در بیشتر از پنج. و دایره هر عددی باشد که چون در نفس خود ضرب کنند دو باز آید همچو 5 و 6 و بعضی 5 را کروی خوانند چه او را چون در مربع خود ضرب کنند 120 حاصل آید مربع یا مکعب بازآید و همچنین با سایر منازل پس حفظ نفس خود با عشرات میکند و از این جهه گرد بود. باب چهارم در اقسام مناسبات و خواص هر یکی: بعضی از متقدمان مناسبات را بیست قسم کرده اند و بعضی بر ده اقتصار کرده اند و چون این موافق سایر قدماست ما نیز بر ده اقتصار کنیم که در اقسام دیگر فایده ای که آنرا اعتبار توان کرد نیست. وجه اول آنست که اعداد متفاضل بود به یک مقدار و آنرا تناسب عددی خوانند. وجه دویم آنکه اعداد در اول متناسب بود به اتصال با ثانی همچو ثانی با ثالث چنانکه 4 با 8 همچو هشت با 16 و این را تناسب هندسی خوانند و این دو وجه در اعداد و غیره با هم جمع نشوند چو هرگاه اعداد متفاضل باشند به یک مقدار هرآینه نسبت اعظم با اوسط ثانی نسبت اوسط بود با اصغر نه مثل آن در تناسب هندسی قطعاً تفاضل اعظم بیش از تفاضل اصغر بود و در تناسب عددی متساوی. وجه سیم آنکه تفاضل اعظمین با تفاضل اصغرین همچو طرف اعظم بود با طرف اصغر چنانکه 136 چه فضل 12 بر 8 اعنی 4 با فضل 8 بر 6 اعنی 2 بر نسبت ضعف بود همچو 12 با 6 و اینرا تناسب تألیفی خوانند بنابر آنکه ارتفاع بدین در صناعت موسیقی که آنرا صناعت تألیف خوانند بسیار بود و اصل مناسبات این سه قسمت و بواقی را بر سبیل تتمیم فن ایراد کرده اند و از خواص نسبت عددی آنست که ابداً سطح طرفین کمتر از مربع واسطه بود بمربع تفاضل اعداد، چنانکه ضرب 1173 مضروب سه در 11 یعنی 33 از مربع هفت اعنی چهل ونه بقدر مربع فضل اعنی شانزده کمتر بود. و از خواص نسبت هندسی آنکه واسطهء جذر مسطح طرفین بود و از خواص نسبت تألیفی آنکه مضروب مجموع طرفین در اوسط همچو ضعف مضروب طرفین بود، چنانکه مضروب هشت در 18 اعنی 144 ضعف مضروب 6 در 12 بود اعنی 72. و دیگر آنکه مضروب واسطه در اعظم ضعف مضروب او بود در اصغر چنانکه 8 در 12 یعنی 96 ضعف 8 در 6 اعنی 48. وجه چهارم آنکه تفاضل اصغرین با تفاضل اعظمین همچو اعظم بود با اصغر چنانکه 653 تفاضل اصغرین 2 و تفاضل اعظمین او نسبت ایشان نسبت 6 با 3 و چون وضع این تناسب برعکس تناسب تألیف است آنرا مضاده خوانند و طریق استخراج اوسط آنکه تفاضل طرفین را در اصغر ضرب کنند و حاصل را بر مجموع طرفین قسمت کنند و خارج را از اعظم بیندازند چنانکه 12 و 20 را طرفین فرض کنیم و تفاضل را اعنی 8 در اصغر ضرب کنیم و حاصل را اعنی 96 بر طرفین اعنی 32 قسمت کنیم خارج قسمت را اعنی 3 از 20 که اعظم است نقصان کنیم 17 که آن اوسط مطلوب است بماند، چه نسبت تفاضل میان او و اصغر که پنج است با تفاضل میان او و اعظم که 3 است و آن مثل و ثلثان بود همچو نسبت طرف اعظم است با اصغر. وجه پنجم آنکه نسبت اوسط با اصغر همچو نسبت تفاضل اصغرین باشد با تفاضل اعظمین همچو 542 و از خواص این قسم آنست که ضرب اعظم در واسطه ضعف ضرب اوست در اصغر. و این خاصیت عام نیست بل مخصوص است بدانکه اوسط ضعف اصغر بود. وجه ششم آنکه نسبت اعظم با اوسط همچو نسبت فضل اصغرین بود با فغل اعظمین چنانکه 1 و 4 و 6 و از خواص او آنست که اگر نسبت مثل و جزء بود واسطه مجذور بود و اگر جذر واسطه بر واسطه افزایند مبلغ طرف اعظم بود. وجه هفتم آنکه نسبت تفاضل طرفین با تفاضل اصغرین چون نسبت اعظم بود با اصغر همچو 6 و 8 و 9. وجه هشتم آنکه نسبت اعظم با اصغر چون نسبت تفاضل طرفین با تفاضل اعظمین همچو 976. وجه نهم آنکه نسبت اوسط با اصغر همچو نسبت تفاضل طرفین بود با تفاضل اصغرین همچو 744. وجه دهم آنکه نسبت اوسط با اصغر همچو نسبت تفاضل طرفین بود با تفاضل اعظمین چنانکه 853. و هرچند بیان این اقسام به اطنابی محتاج بود اما بنابر رعایت شرط مذکور از آن اعراض نمودیم. (نفایس الفنون فی عرایس العیون تألیف محمد بن محمود آملی، فن سیم از قسم دویم در علوم اوایل، مقالهء سیم).
|| مثال ارثماطیقی را قدما بصورت زنی جمیله ملبس بجامه ای که در حاشیهء آن این دو کلمه نوشته شده: «جفت، طاق» ممثل کنند. در دست وی لوحهء مخصوص ارقام است.
(1) - Arithmetique. (2) - به تصحیح قیاسی.